Äquivalenz einer Aussage < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Fr 29.06.2012 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | [mm] A_{1},...,A_{n} [/mm] seien Teilmenge einer Grundmenge G. Formulieren und beweisen Sie mit dem Allquantor und dem Existenzallquantor die folgende Aussage.
[mm] G\setminus (A_{1}\cup...\cup A_{n}) [/mm] = [mm] (G\setminus A_{1}\cap ...\cap(G \setminus A_{n}) [/mm] |
So, ich möchte hier gar nicht die komplette Äquivalenz erklärt bekommen, sondern ich würde gerne die Lösung des 1. Teilschritts verstehen:
[mm] x\in G\setminus(A_{1}\cup...\cup A_{n}) \gdw \neg((x \in A_{1}) \vee [/mm] ... [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in A_{n}))
[/mm]
Ich verstehe hierbei nicht, wo dass x [mm] \in [/mm] G hingekommen ist?
Mir ist klar, das diese Differenz bedeutet x [mm] \in [/mm] G [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin (A_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n} [/mm] Oder sehe ich das falsch? Ich habe noch ein wenig Probleme mit der Notation. Vllt liegt hier mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]A_{1},...,A_{n}[/mm] seien Teilmenge einer Grundmenge G.
> Formulieren und beweisen Sie mit dem Allquantor und dem
> Existenzallquantor die folgende Aussage.
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> [mm]G\setminus (A_{1}\cup...\cup A_{n})[/mm] = [mm](G\setminus A_{1}\cap ...\cap(G \setminus A_{n})[/mm]
>
> So, ich möchte hier gar nicht die komplette Äquivalenz
> erklärt bekommen, sondern ich würde gerne die Lösung des
> 1. Teilschritts verstehen:
>
> [mm]x\in G\setminus(A_{1}\cup...\cup A_{n}) \gdw \neg((x \in A_{1}) \vee[/mm]
> ... [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in A_{n}))[/mm]
>
> Ich verstehe hierbei nicht, wo dass x [mm]\in[/mm] G hingekommen
> ist?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich würd' sagen: das ist schlicht und ergreifend vergessenworden.
LG Angela
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> Mir ist klar, das diese Differenz bedeutet x [mm]\in[/mm] G [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\notin (A_{1} \cup[/mm] ... [mm]\cup A_{n}[/mm] Oder sehe ich das falsch?
> Ich habe noch ein wenig Probleme mit der Notation. Vllt
> liegt hier mein Fehler?
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Sa 30.06.2012 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
erstmal Danke dir :)
Also, bist du dir da sicher?
Denn der Autor bringt das G dann im Laufe der Umformung wieder rein.
Ich denke es hängt damit zusammen, dass G ja die vorgegebene Grundmenge ist. Hier mal die komplette Lösung, vllt kannst du/ihr den Teilschritt dann besser nachvollziehen.
[mm] x\in G\backslash( A_{1}\cup...\cup A_{n}) \gdw \neg((x\in A_{1}\vee...\vee(x\in A_{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \neg(\exists [/mm] i mit [mm] x\in A_{i})
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] i: [mm] x\notin A_{i} [/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] i: [mm] x\in G\backslash A_{i} [/mm]
[mm] \gdw x\in (G\backslash A_{})\cap...\cap(G\backslash A_{n})
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> erstmal Danke dir :)
> Also, bist du dir da sicher?
Ich kann mich Angela nur anschließen.
> Denn der Autor bringt das G dann im Laufe der Umformung
> wieder rein.
> Ich denke es hängt damit zusammen, dass G ja die
> vorgegebene Grundmenge ist. Hier mal die komplette Lösung,
> vllt kannst du/ihr den Teilschritt dann besser
> nachvollziehen.
>
> [mm]x\in G\backslash( A_{1}\cup...\cup A_{n}) \gdw \neg((x\in A_{1}\vee...\vee(x\in A_{n}))[/mm]
>
> [mm]\gdw \neg(\exists[/mm] i mit [mm]x\in A_{i})[/mm]
> [mm]\gdw \forall[/mm] i:
> [mm]x\notin A_{i}[/mm]
> [mm]\gdw \forall[/mm] i: [mm]x\in G\backslash A_{i}[/mm]
> [mm]\gdw x\in (G\backslash A_{})\cap...\cap(G\backslash A_{n})[/mm]
>
>
Der Rest ist O.K.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Sa 30.06.2012 | | Autor: | havoc1 |
Aber wie kann der Rest stimmen, wenn man am Anfang schon etwas weg gelassen hat?
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> Aber wie kann der Rest stimmen, wenn man am Anfang schon
> etwas weg gelassen hat?
Hallo,
in der 4.Zeile wird das Vergessene halt wieder hingeschrieben.
Das müßte so sein:
$ [mm] x\in G\backslash( A_{1}\cup...\cup A_{n}) \gdw \red{x\in G\quad und} \quad\neg((x\in A_{1}\vee...\vee(x\in A_{n})) [/mm] $
$ [mm] \gdw\red{x\in G\quad und} \quad \neg(\exists [/mm] $ i mit $ [mm] x\in A_{i}) [/mm] $
$ [mm] \gdw \red{x\in G\quad und} \quad\forall [/mm] $ i: $ [mm] x\notin A_{i} [/mm] $
$ [mm] \gdw \forall [/mm] $ i: $ [mm] x\in G\backslash A_{i} [/mm] $
$ [mm] \gdw x\in (G\backslash A_{})\cap...\cap(G\backslash A_{n}) [/mm] $
LG Angela
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