Äquivalenz von Aussagen zeigen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 29.07.2014 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | Es seien A und B Mengen. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) A [mm] \subset [/mm] B
b) A [mm] \cap [/mm] B = A
c) A [mm] \cup [/mm] B = B
d) A [mm] \Delta [/mm] B = B \ A |
Hallo,
ich hätte einige Fragen zur oberen Aufgabe. Also soweit ich die Aufgabe verstanden habe, muss ich zeigen dass:
a [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \Rightarrow [/mm] a
Wenn ich nun b durch a zeigen will, muss ich a als Vorraussetzung nehmen.
Vorraussetzung: A [mm] \subset [/mm] B
Zu Zeigen ist: A [mm] \cap [/mm] B = A
Wie muss ich nun weiter voran gehen. Ich hab mir das mit dem Beweis auf Widerspruch vorgestellt, jedoch komm ich da nicht weiter. Bitte um Hilfe :)
Viele Grüße,
Hamade9
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Di 29.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es seien A und B Mengen. Zeige die Äquivalenz folgender
> Aussagen:
> a) A [mm]\subset[/mm] B
> b) A [mm]\cap[/mm] B = A
> c) A [mm]\cup[/mm] B = B
> d) A [mm]\Delta[/mm] B = B \ A
> Hallo,
>
> ich hätte einige Fragen zur oberen Aufgabe. Also soweit
> ich die Aufgabe verstanden habe, muss ich zeigen dass:
> a [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\Rightarrow[/mm] a
Ja, so kannst Du das machen.
> Wenn ich nun b durch a zeigen will, muss ich a als
> Vorraussetzung nehmen.
> Vorraussetzung: A [mm]\subset[/mm] B
> Zu Zeigen ist: A [mm]\cap[/mm] B = A
>
> Wie muss ich nun weiter voran gehen.
Die Inklusion A [mm]\cap[/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A dürfte klar sein.
Zeige also noch: $A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$. Dazu nimm ein a [mm] \in [/mm] A und zeige: a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
FRED
>
> Ich hab mir das mit
> dem Beweis auf Widerspruch vorgestellt, jedoch komm ich da
> nicht weiter. Bitte um Hilfe :)
>
>
> Viele Grüße,
> Hamade9
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Di 29.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien A und B Mengen. Zeige die Äquivalenz folgender
> Aussagen:
> a) A [mm]\subset[/mm] B
> b) A [mm]\cap[/mm] B = A
> c) A [mm]\cup[/mm] B = B
> d) A [mm]\Delta[/mm] B = B \ A
> Hallo,
>
> ich hätte einige Fragen zur oberen Aufgabe. Also soweit
> ich die Aufgabe verstanden habe, muss ich zeigen dass:
> a [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\Rightarrow[/mm] a
> Wenn ich nun b durch a zeigen will, muss ich a als
> Vorraussetzung nehmen.
> Vorraussetzung: A [mm]\subset[/mm] B
> Zu Zeigen ist: A [mm]\cap[/mm] B = A
>
> Wie muss ich nun weiter voran gehen. Ich hab mir das mit
> dem Beweis auf Widerspruch vorgestellt, jedoch komm ich da
> nicht weiter. Bitte um Hilfe :)
Du kannst das gerne als Widerspruch verpacken. Es gelte $A [mm] \subset B\,.$ [/mm] Wäre
$A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=A\,,$ [/mm] so muss, wegen $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$ (das gilt unabhängig
von der Voraussetzung!) dann
$A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not=\varnothing$
[/mm]
gelten. Man kann also ein [mm] $x\,$ [/mm] finden mit
$x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Lass' Dir das mal auf der Zunge zergehen unter Beachtung von $A [mm] \subset [/mm] B$).
Gruß,
Marcel
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