Äquivalenz von Normen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | p(x)=|x(0)|+|x(1)|, x [mm] \in [/mm] C[0,1]
[mm] ||x||_{\infty}=max|x(t)| [/mm] , x [mm] \in [/mm] C[0,1]
[mm] ||x||_{1}=\integral_{0}^{1}{|x(t)|dt}, [/mm] x [mm] \in [/mm] C[0,1] |
Hallo ihr Lieben!
Ich soll zunächst einmal begründen, warum p keine Norm ist. Meiner Meinung nach sind Definitheit und Homogenität erfüllt. Also muss es wohl irgendwie an der Dreieicksungleichung hängen.
Nur wie muss ich die hier anwenden?
Zusätzlich soll ich zeigen, dass die beiden anderen Normen nicht äquivalent sind. Reicht dazu ein Gegenbeispiel aus?
Hatte nämlich im Aufgabenteil davor eine FUnktion gegeben, für die ich [mm] ||x||_{\infty} [/mm] ausrechnen sollte. Hab die gleiche Funktion jetzt nocheinmal in [mm] ||x||_{1} [/mm] eingesetzt und was anderes erhalten. Kann man das so machen?
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> p(x)=|x(0)|+|x(1)|, x [mm]\in[/mm] C[0,1]
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> [mm]||x||_{\infty}=max|x(t)|[/mm] , x [mm]\in[/mm] C[0,1]
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> [mm]||x||_{1}=\integral_{0}^{1}{|x(t)|dt},[/mm] x [mm]\in[/mm] C[0,1]
> Hallo ihr Lieben!
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> Ich soll zunächst einmal begründen, warum p keine Norm ist.
> Meiner Meinung nach sind Definitheit und Homogenität
> erfüllt.
Na, na , folgt denn aus p(x) = 0, dass x = 0 ist ? Nein !! Beispiel: $x(t) = t(t-1)$
> Also muss es wohl irgendwie an der
> Dreieicksungleichung hängen.
> Nur wie muss ich die hier anwenden?
>
> Zusätzlich soll ich zeigen, dass die beiden anderen Normen
> nicht äquivalent sind. Reicht dazu ein Gegenbeispiel aus?
> Hatte nämlich im Aufgabenteil davor eine FUnktion gegeben,
> für die ich [mm]||x||_{\infty}[/mm] ausrechnen sollte. Hab die
> gleiche Funktion jetzt nocheinmal in [mm]||x||_{1}[/mm] eingesetzt
> und was anderes erhalten. Kann man das so machen?
Nein ! Wenn [mm]||x||_{\infty}[/mm] [mm] \not=[/mm] [mm]||x||_{1}[/mm] für ein x in C[0,1], so kannst Du daraus nicht folgern, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind.
Aber: C[0,1] mit [mm] ||x||_{\infty} [/mm] ist ein Banachraum, C[0,1] mit [mm] ||x||_{1} [/mm] ist kein Banachraum, damit können die beiden Normen nicht äquivalent sein.
FRED
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> Vielen Dank für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Franzie |
Vielen Dank erstmal. Die Sache mit den Eigenschaften hab ich verstanden. Bin gar nicht auf die Idee gekommen, eine Funktion auf diese Weise zu konstruieren.
Nun aber noch einmal zur Normenäquivalenz: Du meintest, das eine sei ein Banachraum, das andere nicht. Wenn ich diese Tatsache nun aber nicht gleich erkenne, gibt es da denn noch eine andere Möglichkeit, wie ich zeigen kann, dass diese beiden Normen nicht äquivalent sind?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Dann zeig halt: es gibt keine positiven Zahlen c und C mit:
[mm] $c||x||_{\infty} \le ||x||_{1} \le C||x||_{\infty}$ [/mm] für alle x
Das wird aber haarig, wenn Du nicht folgendes verwendest:
Allgemein : ist X ein normierter Raum mit 2 Normen $||*||$ und $|||*|||$ und gilt mit positiven Zahlen c und C:
(*) $c||x|| [mm] \le [/mm] |||x||| [mm] \le [/mm] C||x||$ für alle x [mm] \in [/mm] X,
so folgt aus (*) sofort:
$(X, ||*||)$ ist ein Banachraum [mm] \gdw [/mm] $(X, |||*|||)$ ist ein Banachraum
FRED
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