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Hallo,
ich habe zwei Normen für [mm] $f\in C^1[0,1]$ [/mm] gegeben:
[mm] \|| f\||_a [/mm] := [mm] |f(0)|+\|f'\|_{\infty}
[/mm]
[mm] \||f\||_b [/mm] := [mm] \|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty}.
[/mm]
Nun soll ich überprüfen, ob diese beiden Normen äquivalent sind.
Ich habe mir überlegt, dass dieses durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen. Dazu muss ich dann nur eine Folge finden, die bzgl. der einen Norm konvergiert aber nicht bzgl. der anderen.
Aber mir fällt nichts passendes ein....
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße Patrick
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Hi! Ich kann mich an die Aufgabe aus meiner Analysis-Vorlesung erinnern. Wenn sich bis heute abend niemand gefunden hat, schaue ich mal in meine alten Unterlagen!
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 So 23.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich würde die Ungleichung
[mm] $\|f\|_b\leq K\|f\|_a$
[/mm]
mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen.
ciao
Stefan
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> Hi,
>
> ich würde die Ungleichung
>
> [mm]\|f\|_b\leq K\|f\|_a[/mm]
>
> mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen.
>
> ciao
> Stefan
Hallo,
aber dann müsste ich ja immer noch die Ungleichung in die andere Richtung zeigen, damit die Normen wirklich äquivalent sind.
mathmetzsch, ja das wäre super 
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Die Ungleichung
[mm] $||f||_a \le ||f||_b$ [/mm] gilt trivialerweise, überleg mal warum!
MFG,
Gono.
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Hallo,
> Die Ungleichung
>
> [mm]||f||_a \le ||f||_b[/mm] gilt trivialerweise, überleg mal
> warum!
>
Stimmt, das ist wirklich trivial. Ist mir vorher irgendwie nicht aufgefallen.
Ich muss nun also noch
$ [mm] \|f\|_b\leq K\|f\|_a [/mm] $
zeigen.
Also [mm] $\sup [/mm] |f(x)|+ [mm] \sup [/mm] |f'(x)| [mm] \leq [/mm] K [mm] (|f(0)|+\sup [/mm] |f'(x)|)$.
Der Mittelwert sichert mir die Existenz eines [mm] \xi, [/mm] sodass
[mm] f'(\xi)=f(1)-f(0).
[/mm]
Ich schaffe es aber nun nicht richtig abzuschätzen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich schaffe es aber nun nicht richtig abzuschätzen...
Klar, so geht's auch nicht richtig gut. Ersetze mal deine 1 durch ein bel. [m]x\in (0,1][/m].
SEcki
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> > Ich schaffe es aber nun nicht richtig abzuschätzen...
>
> Klar, so geht's auch nicht richtig gut. Ersetze mal deine 1
> durch ein bel. [m]x\in (0,1][/m].
>
> SEcki
Also habe ich
[mm] f'(\xi)=f(x)-f(0) [/mm] für ein [mm] \xi\in [/mm] (0,x]
Umgestellt ergibt sich
[mm] $\sup [/mm] |f'| + |f(0)| [mm] \ge \sup [/mm] |f'+f(0)| [mm] \ge |f'(\xi)+f(0)|= [/mm] |f(x)|$
Hmmmm... ich komme auch so nicht wirklich weiter. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Umgestellt ergibt sich
> [mm]\sup |f'| + |f(0)| \ge \sup |f'+f(0)| \ge |f'(\xi)+f(0)|= |f(x)|[/mm]
Wohlgemerkt - für jedes x! Also kannst du die rechte Seite durch das Supremum über diese x ersetzen.
Als nächste Aufgabe für dich: was sind die kleinsten K, so dass die Normen äquivalent sind?
SEcki
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Also vielleicht so?
[mm] $2(\sup_x [/mm] |f'(x)| + |f(0)|) [mm] \ge \sup_x [/mm] |f'(x)+f(0)|+ [mm] \sup_x [/mm] |f'(x)| + |f(0)| [mm] \ge |f'(\xi)+f(0)|= \sup_x [/mm] |f(x)| + [mm] \sup_x [/mm] |f'(x)| + |f(0)| [mm] \ge \sup_x [/mm] |f(x)| + [mm] \sup_x [/mm] |f'(x)|$
Umgekehrt gilt ja
[mm] $|f(0)|+\sup [/mm] |f'| [mm] \le \sup|f|+\sup [/mm] |f'|$
Also sind die Konstanten
k=1 und K=2
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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