Äquivalenz von Normen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich suche nach einem Beweis für folgenden Satz:
Es sei $V$ ein endlich dimensionaler [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$-Raum. [/mm] Dann sind alle Normen auf $V$ äquivalent.
Könnte mir jemand einen Tip dafür geben, wie man das beweist, oder aber, wenn der Beweis etwas komplizierter ist, hier einen Link posten?
Das wäre nett.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Sa 16.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Es sei [mm]V[/mm] ein endlich dimensionaler [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm]-Raum. Dann
> sind alle Normen auf [mm]V[/mm] äquivalent.
Wenn eine Zitatstelle auch ginge: wird vorne im Königsberger, analysis II, bewiesen. Ist aber auch nicht so schwer: Normen sind ja äquivalent, wenn ich positive Konstanten c, C finden kann mit [m]||x||_1.\le C ||x||_2.[/m] und [m]||x||_2.\le c||x||_1.[/m] (wobei hier 1. und 2. für zwei bel Normen stehen.). Jetzt kann man sehr leicht jede Norm mit Dreiecksungleichung gegen die Summenorm abschätzen. Für die Umkehrung: betrachte die Sphäre in der Zeilensummennorm und bilde über alle das Infimum mittels der anderen Norm, zeige das es echt größer ist als 0 - dann hast du deine zweite Konstante gefunden. (Ich hab ich eher knapp gehalten, damit du den Rest ausfüllen kannst - wenn du willst. Ich kann auch nochmal ausführen ...)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 17.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Danke für den Link!
> Man kann leicht einsehen (Analysis I/II), dass die Einheitssphäre
> $ [mm] S_1:=\{ x \in \IR^n\, : \, \Vert x \Vert_1=1\} [/mm] $
> bezüglich der $ [mm] L_1 [/mm] $-Norm beschränkt und abgeschlossen ist. (Kannst du ja zur Übung mal machen.) Daher nimmt $ [mm] \Vert \cdot \Vert [/mm] $ als stetige Funktion ihr Minimum und Maximum auf der $ [mm] S_1 [/mm] $ an. Es gibt also positive reelle Zahen $ x $ und $ C $ mit
Könntest du mir das ein wenig näher erläutern?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo,
streng genommen reicht beschränkt und abgeschlossen nicht, die Enheitssphäre muss kompakt sein (was nur in endlichdimensionalen V-Räumen gilt). Dann kannst Du den Satz anwenden, dass stetige Funktionen auf einem Kompaktum Minimum und Maximum annehmen...
Hier genügt es aber, wenn Du den Beweis dafür, dass ||x|| [mm] \le [/mm] M [mm] ||x||_{1}, [/mm] einfach umdrehst und zeigst, dass [mm] ||x||_{1} \le [/mm] N ||x|| ist: das geht haargenau so, wie in dem Beweis beschrieben, denn auch für || . || gilt die Dreiecksungleichung und es gibt nur endlich viele(!) Basisvektoren, die Du nach oben abschätzen musst.
Dann hast Du insgesamt
1/N = [mm] ||x||_{1}/N \le [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] M [mm] ||x||_{1} [/mm] = M für alle x aus [mm] S_{1}
[/mm]
und damit ist || . || auf der Einheitssphäre nach oben und unten beschränkt durch Zahlen größer 0 und kleiner [mm] \infty.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 17.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> streng genommen reicht beschränkt und abgeschlossen nicht,
> die Enheitssphäre muss kompakt sein (was nur in
> endlichdimensionalen V-Räumen gilt). Dann kannst Du den
> Satz anwenden, dass stetige Funktionen auf einem Kompaktum
> Minimum und Maximum annehmen...
Aber da wir uns ja nach Voraussetzung im endlichdimensionalen Fall befinden, ist mein Beweis vollständig richtig. Dort ist ja "kompakt" äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen", was ich ausgenutzt habe.
Ist dir mein Beweis jetzt klar, Hanno? Wenn nicht, dann frage bitte nach. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 So 17.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Nein, verstanden habe ich diese eine Passage leider immer noch nicht. Ich weiß aus den paar Seiten aus dem Skript nicht sonderlich viel. Könntest du deine Worte vielleicht ein wenig mit Leben füllen, d.h. sie ein wenig kommentieren - vielleicht wird mir das Ganze dann ein wenig klarer? Das wäre nett von dir.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 17.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
In endlichdimensionalen Räumen ist eine Teilmenge genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Weiterhin nimmt eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Maximum und Minimum an. (Dies folgt daraus, dass das stetige Bild einer kompakten Menge wieder kompakt ist).
Als stetige Funktion betrachten wir hier die Normabbildung:
[mm] $\Vert \cdot \Vert [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR$.
[/mm]
(Die Stetigkeit habe ich ja gezeigt, denn jede Lipschitz-stetige Funktion ist stetig. Wähle [mm] $\delta=\varepsilon$, [/mm] um das einzusehen.)
Sobald wir gezeigt haben, dass [mm] $S_1$ [/mm] beschränkt und abgeschlossen ist (was aber trivial ist), sind wir fertig, denn dann liegt ja für ein beliebiges $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] $x [mm] \ne [/mm] 0$, der normierte Vektor
[mm] $\tilde{x} [/mm] : = [mm] \frac{x}{\Vert x \Vert_1}$
[/mm]
in [mm] $S_1$, [/mm] denn
[mm] $\Vert \tilde{x} \Vert_1 [/mm] = [mm] \frac{\Vert x \Vert_1}{\Vert x \Vert_1} [/mm] =1$.
Naja, aber der andere Weg ist in der Tat etwas kürzer und leichter. Nur ist der von mir vorgestellte Weg insofern nützlich für dich, als dass er Standardargumente beinhaltet, die man sich merken sollte.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 So 17.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Danke für deine Erklärungen!
> Weiterhin nimmt eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Maximum und Minimum an. (Dies folgt daraus, dass das stetige Bild einer kompakten Menge wieder kompakt ist).
Meinst du damit, dass es ein Minimum und ein Maximum gibt [,welches aber nicht globales Maximum sein muss]? Wenn ja, dann macht der Rest für mich Sinn. Diese Stelle allerdings ließ mich stocken.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meinst du damit, dass es ein Minimum und ein Maximum gibt
> [,welches aber nicht globales Maximum sein muss]? Wenn ja,
> dann macht der Rest für mich Sinn. Diese Stelle allerdings
> ließ mich stocken.
Es ist schon global! (Wichtig kann hier sein, dass man die Funktion eben auf die kompakte Menge einschränkt - sie also für mehr definiert wäre, man aber absichtlich, um zB so einen Satz zu verwenden, darauf einschränkt.)
SEcki
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