Äquivalenz zeigen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wie kann ich folgende Äquivalenz zeigen:
1. Streng positive Funktion ist integrierbar
2. Das Maß ist Sigma endlich. |
Hallo zusammen,
Sorry das ich dass jetzt so unformal aufschreiben, aber unser Prof hatte erwähnt das sowas in der Klausr nächste Woche dran kommt und ich habe bis jetzt keinen Plan wie ich das beweisen kann.
Vielen Dank
Freak
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
wenn du mit "integrierbar" meinst, dass das Integral kleiner als unendlich ist, dann ist die Aussage schlichtweg falsch.
In diesem Sinne werdet ihr die Aufgabe bestimmt nicht so bekommen.
Soviel zum "unformalen" aufschreiben.
MFG,
Gono.
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Hi Gono,
danke für die Antwort :) Ich weiss jetzt bewege ich mich auf dünnen Eis, aber ich stell die Frage trotzdem :)
Gibt es eine Äquivalenz die bei "ähnlichen " Aussagen gilt. Vielleicht habe ich das eine oder andere einfach falsch aufgeschnappt. In schriftlicher Form habe ich das leider nicht vorliegen, sonst hätte das selbstverständlich gepostet.
Dann hätte ich noch eine andere Verständnis Frage bezüglich Vollständigkeit eines Maßraums. Was für einen Einfluss hat es ob ein Massraum vollständig ist oder nicht auf Funktionen?
Sorry das ich alles so wage formuliere :)
LG Freak
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Hiho,
> Gibt es eine Äquivalenz die bei "ähnlichen " Aussagen gilt. Vielleicht habe ich das eine oder andere einfach falsch aufgeschnappt.
Na es gibt viele Aussagen zu [mm] $\sigma$-endlichen [/mm] Maßen.
Was höchstens gilt, wäre sowas wie:
"Jede beschränkte Funktion ist integrierbar [mm] \gdw [/mm] Das Maß ist endlich"
Beachte aber, dass "endlich" nicht [mm] "$\sigma$-endlich" [/mm] ist.
> Dann hätte ich noch eine andere Verständnis Frage bezüglich Vollständigkeit eines Maßraums. Was für einen Einfluss hat es ob ein Massraum vollständig ist oder nicht auf Funktionen?
Schau dir mal die Meßbarkeitsdefinition für Funktionen nochmal an und überlege, welche der folgenden Implikationen gilt:
Sei [mm] \overline{B} [/mm] die Vervollständigung von B:
a) f ist meßbar bezüglich B [mm] \Rightarrow [/mm] f ist meßbar bezüglich [mm] \overline{B}
[/mm]
b) f ist meßbar bezüglich [mm] \overline{B} \Rightarrow [/mm] f ist meßbar bezüglich B
MFG,
Gono.
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Hi Gono,
super vielen Dank! Das geht genau in die Richtung wie du mir helfen kannst. Danke!
> a) f ist meßbar bezüglich B [mm]\Rightarrow[/mm] f ist meßbar
> bezüglich [mm]\overline{B}[/mm]
>
> b) f ist meßbar bezüglich [mm]\overline{B} \Rightarrow[/mm] f ist
> meßbar bezüglich B
Es müßte a) sein, da [mm]B \subset \overline{B} [/mm] ist. Und damit gilt [mm]f^-1\in B \Rightarrow f^-1 \in\overline{B} [/mm] .Reicht das als Begründung? Hast du da noch andere Aufgaben, wie Funktionen und die Vervollständigung zusammenhängen, Bsp wo etwas scheitert etc.?
> "Jede beschränkte Funktion ist integrierbar [mm]\gdw[/mm] Das Maß
> ist endlich"
>
> Beachte aber, dass "endlich" nicht "[mm]\sigma[/mm]-endlich" ist.
>
Der Unterschied zwischen "endlich" und "[mm]\sigma[/mm]-endlich" ist mir eigentlich klar. Hast du mir einen Tipp deine Äquivalenz zeigen kann.
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Hiho,
> Es müßte a) sein, da [mm]B \subset \overline{B}[/mm] ist. Und damit gilt [mm]f^-1\in B \Rightarrow f^-1 \in\overline{B}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Reicht das als Begründung?
Ja.
> Hast du da noch andere Aufgaben, wie Funktionen und die Vervollständigung zusammenhängen, Bsp wo etwas scheitert etc.?
Nehmen wir mal die beiden Maßräume [mm] $\left(\IR,\mathcal{B}(\IR)\right)$ [/mm] und [mm] $\left(\IR,\mathcal{L}(\IR)\right)$ [/mm] (d.h. [mm] \IR [/mm] mit der Borelschen Sigma-Algebra bzw. Lebesgueschen Sigma-Algebra) und die Identität als Abbildung zwischen den beiden:
$id: [mm] \left(\IR,\mathcal{B}(\IR)\right) \to \left(\IR,\mathcal{L}(\IR)\right)$
[/mm]
Ist diese Funktion meßbar?
Dann: Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine Sigma-Algebra mit einem Maß [mm] $\mu$, [/mm] wir definieren uns
[mm] $\overline{\mathcal{F}} [/mm] := [mm] \left\{\overline{A} := A \cup N | A\in\mathcal{F}, N \subset M, \text{ wobei } M\in\mathcal{F}, \mu(M) = 0\right\}$
[/mm]
Zeige: [mm] \overline{\mathcal{F}} [/mm] ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und [mm] $\overline{\mu}(\overline{A}) [/mm] := [mm] \mu(A)$ [/mm] ein Maß darauf.
> Hast du mir einen Tipp deine Äquivalenz zeigen kann.
Eine Richtung ist trivial, die andere Beweise über Kontraposition.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 24.02.2013 | | Autor: | freak1982 |
Bei der Äquivalenz stehe ich auf dem Schlauch. Kanns du mir da noch einen Tipp oder den Start geben?
Das Lebesgueische Sigmaalgebra höre in zum ersten mal, habe mal gegoogelt, so wirklich schlau bin ich nicht draus geworden.
Das zweite Beispiel haben wir als Übung bereits zeigen dürfen + wohldefiniertheit. Man muss halt die einzeln Charakteristiken von Maßen und Sigmaalgebra überprüfen.
Hast du eine schlaue Seite über schwache Konvergenz in Integrationstheorie? Der Prof. hatte das erwähnt, im Skript hatten wir aber nur konvergenz in maße, konvergiert fast überall, konvergiert in [mm] L^p
[/mm]
Danke dir für deinen Einsatz!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Bei der Äquivalenz stehe ich auf dem Schlauch. Kanns du mir da noch einen Tipp oder den Start geben?
Zeige doch erstmal, dass jede beschränkte Funktion bei endlichem Maß integrierbar ist.
Was ist zu zeigen?
Was weißt du über |f|, wenn f beschränkt ist....
Dann stehts eigentlich schon da.
> Das Lebesgueische Sigmaalgebra höre in zum ersten mal, habe mal gegoogelt, so wirklich schlau bin ich nicht draus geworden.
Kann ich mir eigentlich nicht vorstellen. Die Lebesgue-Sigma-Algebra ist die Vervollständigung der Borel-Sigma-Algebra.
Und wenn ihr Vervollständigung gemacht habt, dann hattet ihr die wohl auch....
> Das zweite Beispiel haben wir als Übung bereits zeigen dürfen + wohldefiniertheit. Man muss halt die einzeln Charakteristiken von Maßen und Sigmaalgebra überprüfen.
Na dann sollte das für dich kein Problem mehr sein.
Los!
> Hast du eine schlaue Seite über schwache Konvergenz in Integrationstheorie? Der Prof. hatte das erwähnt, im Skript hatten wir aber nur konvergenz in maße, konvergiert fast überall, konvergiert in [mm]L^p[/mm]
Dann werdet ihr wohl auch nur das brauchen.
Schwache Konvergenz ist einfach definiert als: [mm] $\mu_n \to \mu \text{ schwach } \gdw \integral [/mm] f [mm] d\mu_n \to \integral [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] für alle beschränkten, stetigen Funktionen f.
MFG,
Gono.
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