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| Aufgabe | Wie betrachten die Normen [mm] ||z||_{\infty}=max\{|z_1|,...,|z_n|\}, ||z||_2=\wurzel[]{|z_1|^2+...+|z_n|^2} [/mm] und [mm] ||z||_1=|z_1|+...+|z_n| [/mm] auf [mm] \IC^n. [/mm] Finde maximale Konstanten [mm] c_0, c_1 [/mm] und minimale Konstanten [mm] C_0, C_1 [/mm] mit
(a) [mm] c_0||.||_{\infty}\le ||.||_2\le C_0||.||_{\infty}
[/mm]
(b) [mm] c_1||.||_1\le ||.||_2 \le C_1||.||_1 [/mm] |
Hallo. Ich habe mich schon ein wenig mit der Aufgabe beschäftigt, dabei jede Menge Frust aufgebaut und mir in der Konsequenz davon wahrscheinlich eine kräftige Denkblockade eingeheimst. Lediglich die Konstante [mm] C_0 [/mm] von (a) konnte ich entlarven, mit der Abschätzung:
[mm] ||z||_2\le \wurzel[]{n*||z||^2_{\infty}}=\wurzel[]{n}*||z||_{\infty} [/mm] also [mm] C_0=\wurzel[]{n} [/mm]
Ich habe mir auch alle 3 Kreisscheiben bezüglich der verschiedenen Normen und Radius 1 in [mm] \IR^2 [/mm] gezeichnet, aber mehr als Vermutungen konnte ich dabei nicht rausholen. Es scheint hier generell nicht ein allgemeinen Lösungsweg zu geben, den man immer wieder bestreiten kann, oder etwa doch?
Ich komme nicht weiter! Wie geht man denn am besten vor, wenn man solche Konstanten (egal welche 2 Normen man jetzt betrachtet) finden möchte? Ich finde es alles andere als offensichtlich, wie diese hier aussehen sollten!
Ein paar weiterbringende Tipps oder Denkanstöße und ich bin für heute ein glücklicher Mensch!
Grüße, kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 04.05.2012 | | Autor: | fred97 |
2 Beispiele:
1. [mm] $||z||_1= \summe_{j=1}^{n}1*|z_j| \le \wurzel{n}||z||_2$ [/mm] Für das [mm] \le [/mm] bemühe die Cauchy-Schwarzsche Ungl.
2. Mit einem j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] ist
[mm] $||z||_{\infty}=|z_j| [/mm] = [mm] \wurzel{|z_j|^2} \le ||z||_2.
[/mm]
FRED
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Danke, ein guter Tipp!
zu 1): für w=(1, 1, [mm] ....,1)^T [/mm] gilt für [mm] ||=|\summe_{j=1}^{n} z_j*1|\le \summe_{j=1}^{n}|z_j|\le ||z||_2 *\wurzel[]{1^2+...+1^2}=
[/mm]
[mm] ||z||_2 *\wurzel[]{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[]{n}}*||z||_1\le ||z||_2 [/mm]
Aber wieso gilt denn [mm] ||z||_2\le ||z||_1 [/mm] ? An sich logisch, aber die Begründung fehlt mir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Sa 05.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Aber wieso gilt denn [mm]||z||_2\le ||z||_1[/mm] ? An sich logisch,
> aber die Begründung fehlt mir.
[m]\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}[/m].
SEcki
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Hi, Wieso gilt das so? Ist das von einer bekannten Ungleichungg abgeleitet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, Wieso gilt das so? Ist das von einer bekannten
> Ungleichungg abgeleitet?
Quadriere
$ [mm] \sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b} [/mm] $.
fred
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Ok leuchtet ein, danke fred!
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