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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mu) [/mm] Maßraum und [mm] \nu,\rho [/mm] reelle Maße auf [mm] \mathcal{A}
[/mm]
a) Für A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) A ist [mm] \nu-Nullmenge.
[/mm]
(ii) A ist eine [mm] \nu^{+}- [/mm] und eine [mm] \nu^{-}-Nullmenge.
[/mm]
(iii) A ist eine [mm] |\nu|-Nullmenge.
[/mm]
b) Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) [mm] \nu \perp \rho;
[/mm]
(ii) [mm] \nu^{+} \perp \rho [/mm] und [mm] \nu^{-} \perp \rho,
[/mm]
(iii) [mm] |\nu| \perp \rho;
[/mm]
(iv) [mm] |\nu| \perp |\rho| [/mm] |
hallo,
sitze gerade vor diese aufgabe und weiiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
also Nullmenge ist so def. dass eine Teilmenge A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] das maß null hat.
und es gilt [mm] \nu =\nu_{+}-\nu_{-} [/mm] und [mm] |\nu|=\nu_{+}+\nu_{-}. [/mm] inde vorlesung habe ich einen folg. Satz gefunden names "Hahns Zerlegungssatz" das folg def ist:
Sei [mm] \nu: \mathcal{A}\rightarrow \IR [/mm] reelwertiges Maß. [mm] \exists [/mm] disjunkte messbare Mengen [mm] X_{-}, X_{+} \subset [/mm] X mit
[mm] x=X_{-} \cup X_{+}, [/mm] s.d. [mm] \nu(A\cap X_{+})\le [/mm] 0 und [mm] -\nu(A\cap X_{-}).
[/mm]
Dann sind [mm] \nu_{+} [/mm] und [mm] \nu_{-} [/mm] positive Maße.
Sei [mm] f=1_{X_{+}}-1_{X_{-}}. [/mm] Dann folgt
[mm] \nu(A)=\integral_{A}fd|\nu| [/mm] wobei [mm] |\nu| [/mm] wie oben def. ist.
falls ich mit diesen Satz es zeigen soll. Wie fange ich am besten anfangen
könnt ihr es mir anhand aussage (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) zeigen evtl.
dankeschön im voraus
questionpeter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich versteh Dein Pronlem nicht. Du sollst zeigen:
[mm] \mu(A) [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] ( [mm] \nu_+(A) [/mm] =0 und [mm] \nu_-(A)=0 [/mm] ) [mm] \gdw |\nu|(A)=0.
[/mm]
Das kriegst Du doch locker mit den Def. von [mm] \nu_+, \nu_- [/mm] und [mm] |\nu| [/mm] hin.
FRED
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danke nochmals.war wirklich sehr einfach
aber jetzt zu teil b) wie mache ich es dort jetzt.
wenn ich zwei Teilmenge definiere z.B A,B [mm] \in [/mm] mathcal{A} dann sei A [mm] \nu-Nullmenge [/mm] und B [mm] \rho-Nullmenge [/mm] und [mm] \nu \perp \rho.
[/mm]
aber wie kann ich daraus folg. dass [mm] \nu_+\perp \rho [/mm] und [mm] \nu_{-}\perp\rho?
[/mm]
sorry dass ich evtl. mich doof anstelle, aber machmal sieht man vor lauter vielen bäumen nichts.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> danke nochmals.war wirklich sehr einfach
> aber jetzt zu teil b) wie mache ich es dort jetzt.
> wenn ich zwei Teilmenge definiere z.B A,B [mm]\in[/mm] mathcal{A}
> dann sei A [mm]\nu-Nullmenge[/mm] und B [mm]\rho-Nullmenge[/mm] und [mm]\nu \perp \rho.[/mm]
>
> aber wie kann ich daraus folg. dass [mm]\nu_+\perp \rho[/mm] und
> [mm]\nu_{-}\perp\rho?[/mm]
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> sorry dass ich evtl. mich doof anstelle, aber machmal sieht
> man vor lauter vielen bäumen nichts.
Es gelte [mm]\nu \perp \rho.[/mm]
Das bedeutet: es ex. B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \nu(B)=0 [/mm] und [mm] \rho(X \setminus [/mm] B)=0
Aus a) folgt doch dann sofort: $ [mm] \nu_+\perp \rho [/mm] $ und $ [mm] \nu_{-}\perp\rho [/mm] $ und [mm] $|\nu| \perp \rho$
[/mm]
FRED
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