Äquivalenzen einer Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 07.07.2014 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | | (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D) = (A [mm] \setminus [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] B) |
Hallo zusammen,
ich soll die Äquivalenzen der beiden Mengen algebraisch zeigen.
Ich komme aber nicht weiter als so:
Anwendung Distributivgesetz:
((A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] ((A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] D)
Das dachte ich, könnte mich weiter bringen aber ich sehe nicht wie ich von da zu: (A [mm] \setminus [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] B) kommen soll
Über einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
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Hallo,
> (A [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\setminus[/mm] D) = (A [mm]\setminus[/mm] D) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\setminus[/mm] B)
> Hallo zusammen,
>
> ich soll die Äquivalenzen der beiden Mengen algebraisch
> zeigen.
Sicher nicht ...
Was soll denn eine Äquivalenz zweier Mengen sein?
Du sollst die Gleichheit der beiden Mengen zeigen ...
> Ich komme aber nicht weiter als so:
>
> Anwendung Distributivgesetz:
> ((A [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C) [mm]\setminus[/mm] ((A [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\cap[/mm] D)
Worauf hast du das wie angewendet?
>
> Das dachte ich, könnte mich weiter bringen aber ich sehe
> nicht wie ich von da zu: (A [mm]\setminus[/mm] D) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\setminus[/mm] B) kommen soll
>
> Über einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, also [mm]M=N[/mm] kann man beide Teilmengenbeziehungen zeigen
1) [mm]M\subset N[/mm] und
2) [mm]N\subset M[/mm]
Zeige also zunächst
1) [mm](A\setminus B)\cap (C\setminus D) \ \subset \ (A\setminus D)\cap (C\setminus B)[/mm]
Sei also [mm]x\in (A\setminus B)\cap (C\setminus D)[/mm]
dann ist [mm]x\in (A\setminus B) \ \text{und} \ x\in (C\setminus D)
[/mm]
Drösel das nun weiter auf bis du zu
[mm]x\in (A\setminus D)\cap (C\setminus B)[/mm] kommst.
Damit hättest du 1)
Bliebe dann die andere Teilmengenbeziehnung zu zeigen ...
Wenn du es geschickt anstellst, kannst du 1) und 2) in einem erledigen, musst dich aber davon überzeugen, dass du in jedem Schritt eine Äquivalenzumformung machst ...
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
eine Alternative wäre [mm] $A\setminus [/mm] B$ als [mm] $A\cap B^c$ [/mm] zu schreiben (oder zu zeigen) und dann steht die Gleichheit direkt da, wenn man die Assoziativität und Kommutativität des Schnitts berücksichtigt.
Gruß,
Gono.
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