Äquivalenzklasse < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 16.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Frage ist bei mir aufgetaucht:
Wie viele Äquivalenzklassen äquivalenter Matrizen gibt es?
Ich drehe mich dabei irgendwie etwas im Kreis. Also, wenn ich die Menge aller Matrizen nehme, und mir eine spezielle raussuche, dann kann ich zu dieser Matrix eine Äquivalenzklasse angeben, in der alle Matrizen stehen, die zu meiner einen äquivalent sind. Und das kann ich doch mit jeder Matrix machen, also erhalte ich zu jeder Matrix eine Äquivalenzklasse.
Aber was genau bedeutet "Äquivalenklasse äquivalenter Matrizen"? Ich glaub', das kapier ich noch nicht so ganz.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 So 16.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Bastiane,
ich denke, man sollte dies ein wenig umformulieren :
sei eine Äquivalenzrelation "~" definiert auf dem Raum der nxm-dimensionalen Matrizen und zwar:
[mm] $A\sim [/mm] B [mm] \quad \gdw$ [/mm] A ud B sind äquivalent, d.h.
es gibt invertierbare Matrizen S und T (entspr. Größe), so dass [mm] $B=S*A*T^{-1}$
[/mm]
so, invertierbare Matrizen multipliziert mit A ändern ja nicht den rang des Produktes.
betrachten wir mal kurz vollen rang =min(m,n) :
Ich waage mal zu behaupten, dass man aus der Einheitsmatrix (evtl mit Nullen auffüllen bis dimensionen erreicht sind) durch ein geeignetes Gleichungsystem jede andere Matrix erzeugen kann, wenn diese auch vollen Rang hat.
Dies müsstest du evtl erstmal allgemein zeigen - aber ich denke, das sollte irgendwie schon gehen.
entsprechend wäre die verallgemeinerung, dass A und B immer äquivalent sind, solange sie denselben rang haben.
(EDIT : genau diesen Satz habe ich gerade im Fischer gefunden, also stimmt dieses Vorgehen wohl...  )
d.h. bei einer nxm Matrix gibt es min(m,n) viele Äquivalenzklassen.
(nämlich gerade die durch versch. Rang entstehen)
Aber dies ist jetzt von mir nur vermutet - so zu sagen als Ansatz gedacht..
viele Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo ihr zwei!
Ich beschränke mich einmal auf quadratische Matrizen eines Vektorraumes [mm] $\IK^{n\times n}$. [/mm] Sind [mm] $A,B\in \IK^{n\time n}$ [/mm] und sei [mm] $E_k\in \IK^{n\times n}, k\in [/mm] [n]$ genau Matrix, deren ersten k Hauptdiagonalelementen 1, alle übrigen Elemente 0 sind. Sei $a=rg(A),b=rg(B)$, dann kann man $A$ bzw. $B$ bekanntermaßen über elementare Zeilen und Spaltenumformungen in [mm] $E_a$ [/mm] bzw [mm] $E_b$ [/mm] überführen. Diese Umformungen lassen sich als Multiplikation mit Elementarmatrizen ausdrücken (Zeilenoperationen entsprechen linksseitigen Multiplikationen, Spaltenoperationen rechtsseitigen). Damit gibt es Produkte [mm] $L_a,L_b,R_a,R_b\in GL(n,\IK)$ [/mm] (denn Elementarmatrizen sind invertierbar) mit [mm] $L_a [/mm] A [mm] R_a [/mm] = [mm] E_a, L_b [/mm] B [mm] R_b [/mm] = [mm] E_b$. [/mm] Ist nun $a=b$, so folgt [mm] $L_a [/mm] A [mm] R_a [/mm] = [mm] L_b [/mm] B [mm] R_b \Leftrightarrow [/mm] A = [mm] (L_a^{-1} L_b) [/mm] B [mm] (R_b R_a^{-1})$, [/mm] d.h. die Äquivalenz der A und B.
Stimmt das so?
Interessant wäre auch die Frage, wann die Matrizen ähnlich sind. Ähnlichkeit ist ebenso eine Äquivalenzrelation, man könnte also auch versuchen, die entsprechenden Äquivalenzklassen zu bestimmen. Meine Idee dazu wäre, eine Matrix bekanntermaßen als Lineare Abbildung von [mm] $\IK^n$ [/mm] in sich aufzufassen. Zwei Matrizen liegen dann in der gleichen Äquivalenzklasse, wenn es Basen gibt, bezüglich derer sie die gleiche lineare Abbildung definieren. Ist das der Fall, so stimmen z.B. ihre charakteristischen Polynome überein - wie steht es mit Umkehrungen? Was kann man sagen, wenn man weiß, dass die charakteristischen Polynome zweier Matrizen übereinstimmen?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Jordansche Normalform besitzen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ich merke schon, es wird Zeit, dass ich mich endlich mal mit der Jordanschen Normalform befasse ;)
Liebe Grüße und danke natürlich,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mo 17.10.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Da gebe ich jetzt auch mal meinen Senf dazu: die ursprüngliche fragetsellung mit unetrschiedlichen Basen wurde ja schon längst geklärt. Die nächste Idee ist, bei Endomorphismen die darstellende Matrix bzgl. gleicher Basen zu betrachten. Ich betone hier: das ist ganz natürlich - denn das macht man in LinAlg 2 mindestens das halbe Semster: solche Matrizen zu klassifizieren - dazu gehöhrt eben nicht nur die JNF, sondern es gibt auch die allgemeine Normalform, die Darstellung von rellen Endos, zu einem gewissen Maße auch die Diagonalisierbarkeit. Man will ja gerade eine möglichst einfache Form haben - und daher dann die ganze Theorie.
Kleine Korrektur zu Stefans Mitteilung: die JNF existiert nicht umbedingt - dazu muss der Körper algebraisch abgeschlossen sein. Es gibt dann aber Wege zurück - zB im reellen dadurch, dass man zu je zwei komplex konjuguerten EW diese zusammenfasst.
Warum Hanno sich auf quadratische Matrizen beschränkt hat, verstehe ich allerdings nicht - die Argumentation geht sehr ähnlich durch für andere (man muss kaum was ändern ...)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ecki!
Ich denke mal die Frage bezog sich auf komplexe Matrizen, und so war auch meine Antwort zu verstehen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo DaMenge!
Noch kurz eine kleine Ergänzung:
> d.h. bei einer nxm Matrix gibt es min(m,n) viele
> Äquivalenzklassen.
> (nämlich gerade die durch versch. Rang entstehen)
Hier fehlt noch die Nullmatrix - die hat glaube ich Rang 0, also ist sie in den min(m,n) möglichen Rängen noch nicht enthalten. Somit wären es dann min(m,n)+1 Äquivalenzklassen.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 18.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr alle!
Vielen Dank für eure Antworten - ich hatte die Frage irgendwie vergessen, deswegen lese ich erst jetzt eure Antworten.
Aus DaMenges Antwort verstehe ich das jetzt so:
Für eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix gibt es $min(m,n)$ verschiedene Ränge, die die Matrix haben kann (nämlich $1,2,3,...,min(m,n)$ - eigentlich ja ganz logisch, aber da war ich irgendwie nicht drauf gekommen). Und da zwei Matrizen äquivalent sind, wenn sie denselben Rang haben, gibt es auch $min(m,n)$ verschiedene Äquivalenzklassen.
Und damit wäre meine Ausgangsfrage doch eigentlich komplett beantwortet, oder? Was ihr das sonst noch mit Jordan-Normalform und ähnlichen Matrizen machen wollt, das könnt ihr gerne machen, gehört aber nicht mehr zu dieser Frage.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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