Äquivalenzklasse der Funktion < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f~g falls f'=g' (Ableitungen von f und g) (f und g sind stetig diff. funktionen)
a) was ist die Äquivalenzklasse der Funktion f: R->R, f(x)=0?
b) Beschreiben sie die Äquivalenzklasse einer gegebenen Funktion f, mit f Element der Menge der differenzierbaren Funktionen |
zu a) ist der Ansatz richtig dass ich herausfinden muss wie die Abbildungen g aussehen die die gleiche Ableitung haben wie f(x)=0?
Wie finde ich das heraus hat jemand eine idee?
zu b) scheint ähnlich zu sein wie die aufgabe a oder? nur allgemeiner?? kann mir jemand dazu nochmal kurz in klaren worten den begriff der ä-klasse begreiflich machen, würde es wirklich gerne verstehen!!!
danke und lg, Richard
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) Du kennst sicher Die Ableitung der Funktion f(x)=0
und dufindest sicher Funktionen, die auch überll die Ableitug 0 haben. (auf das übersll kmmt es an.
Die erkenntnis aus a) hilft dir auch bei b)
nimmz. Bsp, [mm] f(x)=x^2+4x+1 [/mm] findest du eine Funktion, die dieselbe Ableitung hat? Dann kannst du das leicht auf ein allgemeines f)x) verallgemeinern.
Eine Äquivalenzklasse ist die Menge aller Elemente, die äquivaent sind. i.A. wird kann man sie dann durch einen Repräsentanten darstellen.
Beispiel: zwei ganze Zahlen sind äquivalent, wenn sie bei Division durch 5 denselben Rest lassen.
also sind 1,6,11,16 ..101 100000001 usw. alle Elemente derselben Restklasse , nämlich der, die h den Rest 1 bei Division durch 5 lassen. 1 ist der einfachste "Repräsentant" aber 101 ist auch einer. es gilt [mm] 1\equiv [/mm] 101 [mm] 56\equiv [/mm] 31
bei dieser Äqivalenzklasse die Auch Aquivalenzklasse modulo 5 heisst also kurz [mm] 56\equiv [/mm] 31 mod5.
lies noch mal deine Definitionen für Äquivalenz nach, es hat ja keinen Sinn, dass wir hier dein skript nochmal schreiben.
Gruss leduart
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 So 21.10.2007 | | Autor: | cloui |
Verstehe ich es richtig, dass ich bei der zweiten aufgabe nur einen schriftlichen Satz formulierenmuss, indem ich sage, dass eine äquivalenzklasse von f immer die objekte enthalten muss, welche dieselbe ableitung besitzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 21.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Verstehe ich es richtig, dass ich bei der zweiten aufgabe
> nur einen schriftlichen Satz formulierenmuss, indem ich
> sage, dass eine äquivalenzklasse von f immer die objekte
> enthalten muss, welche dieselbe ableitung besitzen?
Nein, die kann man genauer angeben, welche Funktionen sind etwa äquivalent zu [mm] f(x)=x^2, [/mm] haben also dieselbe Ableitung 2x? welche zu [mm] g(x)=sinx+e^x+77x^{17}, [/mm] die kannst du doch angeben! und dann allgemein zu einer Funktion f(x) sind alle Funktionen....äquivalent.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 21.10.2007 | | Autor: | cloui |
ok, ich verstehe :)
aber f st doch nur als element der menge der differenzierbaren funktionen, also ist doch keine bestimmte funktion bekannt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 21.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo cloui
Ja, aber zu JEDER fkt aus der Menge kannst du mit ner "Formel" alle äquivalenten angeben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 22.10.2007 | | Autor: | SpoOny |
Hey ihr zusammen!
Also ist doch die gesuchte Äquivalenzklasse von f(x)=0 , f´(x)=0.
oder anders, in einer Ä.klasse sind all die funktionen, die die gleiche ableitung haben.
versteh ich das so richtig?
lg
spoOny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch mal: welches sind denn die funktionen mit f'(x)=0
ein Repräsentant ist f(x)=0 was sind andere? die sollst du angeben!
oder f(x)=x ist ein Repräsentant der Funktionen mit f'(x)=1 gib andere Repräsentanten an! dann sag das allgemein!
das andere, was du schreibst steht doch so in der Aufgabe!
Oder stell dir vor ich zeichne den Graphen einer fkt. dann sollst du einen zeichnen, der zu derselben Äquivalenzklasse gehört!(und sagen, was du gemacht hast, und zwar nicht: eine graphen mit derselben Ableitung gemalt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 22.10.2007 | | Autor: | SpoOny |
a)
Also ist f(x)=0 in der Äquivalenzklasse f(x)= z mit z [mm] \varepsilon \IR [/mm] .
Womit ich auch alle anderen Repräsentanten angegeben habe.
b) Beschreibung einer Äuqivalenzklasse der Funktion f [mm] \varepsilon C^{1} (\IR)
[/mm]
Lösung??:
Sei K eine Äquivalenzklasse und g [mm] \varepsilon [/mm] K
zu zeigen: (wenn) f´=g´ [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \sim [/mm] g [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \varepsilon [/mm] K
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>
> a)
>
> Also ist f(x)=0 in der Äquivalenzklasse f(x)= z mit
> z [mm]\varepsilon \IR[/mm] .
> Womit ich auch alle anderen Repräsentanten angegeben
> habe.
Hallo,
irgendwie ist das skurril formuliert.
Die Frage war ja
>>>>>>>> a) was ist die Äquivalenzklasse der Funktion f: R->R, f(x)=0?
Was ist denn überhaupt eine Äquivalenzklasse von "irgendwas"? Eine Menge! Es ist die Menge, die all die "Dinge" enthält, die zu dem "Irgendwas" äquivalent sind.
So. Nun schreib mal die Äquivalenzklasse von [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit f(x):=0 gescheit auf:
Es ist [mm] [f]=\{... | ...\}
[/mm]
>
>
> b) Beschreibung einer Äuqivalenzklasse der Funktion f
> [mm]\varepsilon C^{1} (\IR)[/mm]
>>>>>>>> b) Beschreiben sie die Äquivalenzklasse einer gegebenen Funktion f, mit f Element der Menge der differenzierbaren Funktionen
> Lösung??:
>
> Sei K eine Äquivalenzklasse und g [mm]\varepsilon[/mm] K
>
> zu zeigen: (wenn) f´=g´ [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\sim[/mm] g [mm]\Rightarrow[/mm] f
> [mm]\varepsilon[/mm] K
Du hast eine diffbare Funktion f. Nun sag' doch mal, wie die Funktionen aussehen, die dieselbe Ableitung haben wie f.
Nun in eine Menge damit: [mm] f]=\{... | ...\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 22.10.2007 | | Autor: | SpoOny |
danke, ich hab wirklich Probleme mit meinen Formulierungen...
also kann ich zu a) schreiben [mm] f/_{\sim} [/mm] := {f [mm] \varepsilon C^{1} (\IR) [/mm] : f´= 0}
??
b) Beschreibung einer Äuqivalenzklasse der Funktion f
[mm] f/_{\sim} [/mm] := {f [mm] \varepsilon C^{1} (\IR) [/mm] : f [mm] \sim [/mm] g}
Ich stell mich einfach zu blöd an ):
Gruß
SpoOny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du schreibst immer wieder die Definition die schon in der Aufgabe steht hin.
Du sollst eine Beschreibung aller Funktionen liefern die äquivalent sind.
Das hast du doch auch für die eine Funktion hingekriegt:
alle Funktionen, die zu der Funktion f(x)=0 äquivalent sind haben die Form f(x)=konst. [mm] (Konst\in \IR)
[/mm]
Beispiele aus der ÄK sind also [mm] f(x)=1,f(x)=\pi [/mm] f(x)=10000 usw.
so, jetz beschreib mal alle funktionen die zu [mm] f(x)=x^2 [/mm] äquivalent sind, wenn dus noch nicht kannst schreib 3 Beispiele, so wie ich oben für f(x)=0
Wenn du die hast gib 3 Beispiele für fkt. die zu f(x)=3*sinx
äquivalent sind.
Wenn du die 2 Beispiele hast, sagst du hoffentlich Aaaah!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ist das nicht einfach so bei der b)
f / ~ = { f [mm] \in [/mm] C [mm] (\IR) [/mm] : f~f}
das bedeutet doch das man sich nur die funktionen anschaeun muss deren ableitungen gleich sind. z.b f(x) = x² +4x +7 [mm] \Rightarrow [/mm]
f´(x) = 2x + 4 sowie f(x) = x(x+4) -9 [mm] \Rightarrow [/mm] f´(x) = 2x +4
so würde ich das machen.....gerne verbesserungsvorschläge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 22.10.2007 | | Autor: | cloui |
ich hätte bei der 1. aufgabe gesagt
[f] = {c [mm] \in \IC (\IR) [/mm] | c (x) = r mit r [mm] \in \IR}
[/mm]
Ist das richtig so?
die andere frage kann ich auch nicht 100 prozentig beantworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig! aber ungeschickt formuliert! [mm] C(\IR) [/mm] ist nichts was es gibt!
was du meinst,
[f|={f|f(x)=r [mm] r\in\IR [/mm] }
so und jetz überleg mal ein paar funktionen , die zu [mm] x^2 [/mm] Äqu. sind also die Ableitung 2x haben. und ein paar, die zu 3sinx äqu sind also die Abl. 3cosx haben!
Die sind wirklich leicht zu finden, wenn du an die erst Aufgabe denkst, die du ja hast.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
richtig, aber ungeschickt!
> Ist das nicht einfach so bei der b)
>
> f / ~ = { f [mm]\in[/mm] C [mm](\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: f~f}
>
> das bedeutet doch das man sich nur die funktionen anschaeun
> muss deren ableitungen gleich sind. z.b f(x) = x² +4x +7
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> f´(x) = 2x + 4 sowie f(x) = x(x+4) -9 [mm]\Rightarrow[/mm] f´(x) =
> 2x +4
>
> so würde ich das machen.....gerne verbesserungsvorschläge
Der Verbesserungsvorschlag ist, die nicht so kompliziert hinzuschreiben. [mm] f(x)=x^2+4x [/mm] und f(x)=x*(x+4) sind dieselben Funtionen, dann sollte man sie auch gleich schreiben!
Dann siehst du direkt: [mm] f(x)=x^2+4 [/mm] und f(x)-9 haben dieselbe ableitung. Was könnte da ausser -9 noch stehen?
und kommts drauf an was f(x) ist?
du bist 99,9% auf dem richtigen Weg, nur noch die -9 allgemeiner und statt ner speziellen fkt ne beliebige.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
die neun als konstante schreiben...und allgemeiner die fkt umschreiben: z.b f(x) = ax² +const daraus filgt immer f´(x) = 2a
und dann schreibe ich das als Äquivalenzklasse so auf?
f/~ = { f : f(x) = ax²+z mit z [mm] \in \IR [/mm] }
und bei der 1.aufg. habe ich f/~ = { f: f(x) = z mit z [mm] \in \IR [/mm] }
wo liegt da der formale unterschied und kann ich diese beiden äquivalenzklassen so bei den aufgaben hinschreiben?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> die neun als konstante schreiben...und allgemeiner die fkt
> umschreiben: z.b f(x) = ax² +const daraus filgt immer
> f´(x) = 2a
>
> und dann schreibe ich das als Äquivalenzklasse so auf?
>
> f/~ = ( f : f(x) = ax²+z mit z [mm] \in \IR [/mm] )
das ist ja jetzt erst die Äq.K zu einer speziellen Funktion, nämlich zu [mm] f(x)=ax^2
[/mm]
dann müsstest du das auch vorn hinschreiben:
[mm] $ax^2/- [/mm] =( f : f(x) = ax²+z mit z [mm] \in \IR [/mm] )$
so und der Schritt für ne allgemeine fkt f(x) den solltest du jetzt noch machen.
(allgemein heisst für dein f darf dann jeder ne beliebige differenzierbare fkt hinschreiben, und der Satz stimmt)
also fängt er an
$[f]= (f: f(x)=....... mit .... )$ die ersten ... dürfen keine spezielle fkt wie sinx oder [mm] x^2 [/mm] oder so enthalten!
Dann bist du fertig.
für c) sieh in den thread, den Sir Richard angefangen hat.
> und bei der 1.aufg. habe ich f/~ = ( f: f(x) = z mit z [mm]\in \IR[/mm] )
Richtig ich würd für ne Konstante nie z schreiben, weil das zwar nicht falsch ist, aber unüblich, und jeder Mathematiker erst mal drüber stolpert, bis er erleichtert [mm] z\in\IR [/mm] liest. schreib lieber c für const oder r für reell. aber nochmal eigentlich kannst du jeden Buchstaben verwenden!
Gruss leduart
> wo liegt da der formale unterschied und kann ich diese
> beiden äquivalenzklassen so bei den aufgaben hinschreiben?
Wenn du den zweiten Teil erst richtig allgemein hast, ist der erste Teil mit enthalten, für den Spezialfall f(x)=0, Die erste Aufgabe war auch nur, damit man nen Anfangspunkt hat, und auch ungeübtere schon Punkte ernten können.
Gruss leduart
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich glaube ich habs jetzt verstanden....So morgen geb ich das Übungsblatt ab und mal schauen was draus wird...
Bis dann!
Viele grüße
David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
[f]= (f: f(x)=....... mit .... )
an die erste .... stelle muss ja eine allgemeine funktion stehen, wie schon gesagt wurde, kann ich dann nicht einfach ein h(x) wählen und dann eben + r mit r [mm] \in \IR??
[/mm]
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> [f]= (f: f(x)=....... mit .... )
>
> an die erste .... stelle muss ja eine allgemeine funktion
> stehen, wie schon gesagt wurde, kann ich dann nicht einfach
> ein h(x) wählen und dann eben + r mit r [mm]\in \IR??[/mm]
Hallo,
geht es um Aufgabe b) ?
Du kannst es so schreiben:
[mm] [f]=\{h\in \C^1(\IR) | Es gibt ein r\in \IR mit h(x)=f(x)+r für alle x\in \IR\}.
[/mm]
In einer weniger genauen, aber mindestens ebenso verständlichen Variante: [mm] [f]=\{h | h=f+r , r\in \IR\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
super genau so hab ichs gemeint, dann bin ichja doch nich so blöd :)
müsste nur an meiner schreibweise was verbessern :D
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>
> müsste nur an meiner schreibweise was verbessern :D
Hier gilt:
steter Tropfen höhlt den Stein.
So etwas muß man lernen, durch Üben und Abgucken.
Ich behaupte mal, daß es mindestens 80% der Kommilitonen auch noch nicht perfekt können.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Sei R eine Relation auf der Menge M, die reflexiv und transitiv ist. Wir definieren eine neue Relation ~ auf M durch
m~n [mm] \gdw [/mm] (mRn und nRm) , für n,m [mm] \in [/mm] M.
[m] bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m [mm] \in [/mm] M bezüglich ~. Zeigen sie: Sind m, m', n, n' [mm] \in [/mm] M mit [m]=[m'] und [n]=[n'], dann gilt mRn genau dann, wenn m'Rn' gilt.
Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ~. Wir definieren auf A eine Relation R' durch [m]R'[n] [mm] \gdw [/mm] mRn. Überlegen sie sich, dass diese Definition tatsächlich Sinn macht.
Zeigen sie, dass R' eine partielle Ordnung ist.
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Wir muss ich sowas denn überhaupt anfangen? Mir fehlt total der Ansatz...
Ich habs mal so probiert:
Ist m [mm] \not= [/mm] m', aber [m]=[m'], so ist m~m'
und ist n [mm] \not= [/mm] n', aber [n]=[n'], so ist n~n'
oder so:
Sei x [mm] \in[/mm] [m] [mm] \cap [/mm] [m'], dann folgt daraus, dass x~m und x~m', also m~x und x~m' also durch Transitivität m~m' (= mRn ?)
aber wie kann ich das jetzt in bezug mit n setzen? ich brauch ja irgendwie die relation zwischen m und n...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo christina
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Diese Frage hat nichts mit der anderen Frage in diesem thread zu tun.
Neue Fragen solltest du als neue Fragen posten, dann sind auch deine Chancen auf ne Antwort größer.
Aber diesen thread gibt es schon:
klick hier
da kannst du dann auch Zusatzfragen stellen.
Gruss leduart
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