Äquivalenzklassen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 09.04.2014 | | Autor: | Scherben |
| Aufgabe | 1.) [mm] \IZ [/mm] = [mm] [0]\equiv1 [/mm] (kleine eins unten)
2.) [mm] \IZ [/mm] = [mm] [4]\equiv2 \cup [5]\equiv2
[/mm]
Es ist zu Bestimmen ob die Aussagen gelten. (Kein Beweis nötig) |
Ich weiß, wie mann bei "einfachen Aufgaben" zum thema Äquivalezklassen zur lösung kommt,
z.B. z.B. ist [mm] 5\equiv2 [/mm] wahr.
Bew: Setze k:=1, dann gilt 5=3+2*1, also gibt es k [mm] \in \IZ
[/mm]
mit 5=3+2k.
Ich weiß allerdings nicht wie ich die obigen Aufgaben verstehen soll. Bedeutet [mm] \IZ [/mm] = [mm] [0]\equiv1 [/mm] einfach nur, dass ich mit 0+1*x jedes x [mm] \in \IZ [/mm] treffen kann?
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Hallo,
> 1.) [mm]\IZ[/mm] = [mm][0]\equiv1[/mm] (kleine eins unten)
> 2.) [mm]\IZ[/mm] = [mm][4]\equiv2 \cup [5]\equiv2[/mm]
>
> Es ist zu Bestimmen ob die Aussagen gelten. (Kein Beweis
> nötig)
Mit den Aussagen meinst du die beiden Mengengleichungen, nur damit das ein wenig klarer wird.
> Ich weiß, wie mann bei "einfachen Aufgaben" zum thema
> Äquivalezklassen zur lösung kommt,
>
> z.B. z.B. ist [mm]5\equiv2[/mm] wahr.
Das kann nicht wahr sein, weil es keine Aussage ist.
> Bew: Setze k:=1, dann gilt 5=3+2*1, also gibt es k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> mit 5=3+2k.
Nein, so ist das in meinen Augen nicht gemeint.
>
> Ich weiß allerdings nicht wie ich die obigen Aufgaben
> verstehen soll. Bedeutet [mm]\IZ[/mm] = [mm][0]\equiv1[/mm] einfach nur, dass
> ich mit 0+1*x jedes x [mm]\in \IZ[/mm] treffen kann?
Wie gesagt, in beiden Fällen stehen Mengengleichungen (was man unschwer am Gleichheitszeichen und der Tatsache, dass links eine Menge steht, sehen kann). Im ersten Fall ist deine Argumentation somit richtig, weil natürlich jede ganze Zahl bei Division durch 1 den Rest 0 lässt, also ist die Äquivalenzklasse [0] modulo 1 (genau das ist ja gemeint) natürlich nichts anderes als [mm] \IZ.
[/mm]
Im zweiten Fall hast du [mm] [4]\equiv_2 [/mm] zusammen mit [mm] [5]\equiv_2, [/mm] d.h.: einmal alle Zahlen, die bei Division durch 4 und einmal alle, die bei Division durch 5 den Rest 2 lassen. Jetzt überlege dir, ob diese beiden Mengen vereint schon ganz [mm] \IZ [/mm] ergeben können.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mi 09.04.2014 | | Autor: | Scherben |
Ah okay, ich denke ich habe das verstanden,
Es stimmt also nicht, dass [mm] \IZ [/mm] = [mm] [4]\equiv2 \cup [5]\equiv2 [/mm] gilt.
Denn 1 = 0*4 Rest 1, und 0*5 Rest 1.
Ich kann also die 1 nicht mit [mm] [4]\equiv2 \cup [5]\equiv2 [/mm] darstellen (was ja schon als Gegenbeweis ausreicht).
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