Äquivalenzklassen Gruppenhomo. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hier eine Aufgabe, bei der ich über jeden Ansatz dankbar wäre.
Sei f: M [mm] \to [/mm] N ein Gruppenhomomorphismus mir dem Kern U = kern(f) = [mm] f^{-1}(0).
[/mm]
Zeige, dass die Äquivalenzrelation x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x - y [mm] \in [/mm] U als Äquivalenzklassen die Urbilder [x] = [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] für beliebige x [mm] \in [/mm] M erzeugt.
Danke
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es gilt:
$y [mm] \in [/mm] [x]$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] y$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x-y [mm] \in [/mm] U$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x-y [mm] \in [/mm] Kern(f)$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] f(x-y)=0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] f(x) = f(y)$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] y [mm] \in f^{-1}(\{f(x)\})$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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