Äquivalenzklassen bestimmen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Di 09.12.2008 | | Autor: | sunny567 |
| Aufgabe | In ZxZ/{0} sei die Relation ~ definiert durch
(a1, a2)~(b1, b2) :<=> a1 * b2 = a2 * b1
Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von (3,4) und (4,3), sowie (-12, -16){--> mit nem Strich drüber} und (0, -7){-->auch mit nem Strich drüber}. Geben SIe jeweils 5 äquivalente Zahlenpaare an. |
Hallo,
soll diese AUfgabe bis morgen lösen.....komme aber nicht weiter mit dem BEgriff Äquivalenzklassen.....Kann mir das jemand helfen? Wäre total lieb! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Hallo, sagt dir den Äquivalenzrelation überhaupt was? Hast du schon irgendwelche Ansätze, dann schreib sie bitte in den Threat rein, dann können wir dir besser helfen...
Sagt dir Refkexivität, Symmetrie und Transitivität in Bezug auf diese Relationen was? Die hast du nämlich zu prüfen.
Die Äquivalenzklassen sind die Klassen, bei denen z.b. (3,4) Elemente hat, die genau diese Bedingung oben erfüllen. wie z.b. (4,3). musst du nachrechnen
lg, DerAmensch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Di 09.12.2008 | | Autor: | sunny567 |
Ja reflexiv, symmetrisch und transisitv sagt mir was, aber ich komm mit den Äquivalenzklassen nicht wirklich zurecht....kann mir da nix drunter vorstellen und deswegen kann ich die EIgenschaften nciht überprüfen. Denke wenn ich mal nen Denkanstoß bekomme, dann komme ich auch weiter....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Die Eigenschaften haben erstmal gar nichts mit den Klassen zu tun. Die Eigenschaften musst du eh erstmal allgemein prüfen.
Seien (a,b) , (c,d) , (e,f) [mm] \in (\IZx\IZ)\(0,0) [/mm] beliebig.
1. reflexivität: Es ist (a,b) ~ (a,b), weil a*=a*b gilt.
2. Symmetrie:
3. Transitivität:
Jetzt musst du wissen, was 2. und 3. bedeutet. Müsste in deinen Mitschriften stehen. 3. ist meißt etwas kniffliger, aber versuchs mal jetzt erstmal mit dem Prüfen, ob es eine Äquivalenzklasse ist.
lg, DerAmensch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:19 Di 09.12.2008 | | Autor: | sunny567 |
Also bei Symmetrie wäre doch dann:
(a,b)~(b,a) , weil b = b*a???
Bei Transitivität:
(a, b) und (b, c) => (a,c), also a= a*c???
(a=b und b=c) => (a=c), weil b den Wert a annimmT????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Di 09.12.2008 | | Autor: | Mangan |
du hast definiert:
(a1, a2)~(b1, b2) [mm] \gdw [/mm] a1 * b2 = a2 * b1
schreibe mal um in:
(a1, a2)~(b1, b2) [mm] \gdw [/mm] a1/a2 = b1/b2
vll. fällt es dir da leichter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Bei der Symmetrie musst du zwei verschiedene Tupel nehmen z.B. (a,b) und (c,d).
Du musst jetzt zeigen, dass wenn (a,b)~(c,d) steht, auch (c,d)~(a,b) steht. Das ist sehr sehr einfach, dass ich dir da keine Hilfe weiter geben werde... Guck einfach was du alles bei Gleichungen machen darfst.
Bei der transitivität musst du (a,b)~(c,d) und (c,d)~(e,f), also auch (a,b)~(e,f) prüfen. dabei musst du (WICHTIG) beachten, dass [mm] \IZx\IZ [/mm] ohne (0,0) ist, was heißt, dass (0,a) und (a,0) (zum Beispiel) sehr wohl vorkommen können.
Multiplzier die beiden entstehenden Gleichungen aus (a,b)~(c,d) und (c,d)~(e,f) einfach miteinander und stell so um, dass .... *a*f =e*b*... da steht, dann musst du drei Fälle unterscheiden.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 09.12.2008 | | Autor: | sunny567 |
also wäre es ja im Prinzip so:
(a,b)~(c,d)und (c,d) ~(e,f)
ad = bc und cf = de
af = cd = (ad) * (cf) = (bd) * (de) = be * cd
af *c = be * c
Muss man das dann mit Fallunterscheidung machen?
1. Fall: c ungleich 0 af = be also (a,b) ~ (e,f)
2. Fall: c = 0 ad = bc = 0 = cf = de, da d ungleich 0 --> a = 0 = e --> af = 0 =be
(a,b) ~ (e,f)
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
So nicht...
> Muss man das dann mit Fallunterscheidung machen?
> 1. Fall: c ungleich 0 af = be also (a,b) ~ (e,f)
Aber so ungefähr, nur dass ich deine Argumentation nicht recht verstehe:
(i) ad=cb und (ii) cf=ed
nun (i)*(ii)
=> ad*cf=cb*ed
<=> cd*af=eb*cd
1. Fall: c [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] d\ne0: [/mm]
Dann kannst du kürzen und es bleibt übrig => af=eb => (a,b)~(e,f)
so, nun der 2. Fall....
> 2. Fall: c = 0 ad = bc = 0 = cf = de, da d ungleich 0 -->
das ist schon nicht schlecht: c=0, aber der Rest ist falsch.
Du musst sagen c=0 und [mm] d\ne0
[/mm]
was folgt dass aus (i) und aus (ii)?Und was, wenn du sie wieder zusammenführst?
der dritte Fall wäre dann [mm] c\ne0 [/mm] und d=0. Der geht dann analog zum 2. fall. Würde ich aber nochmal zur Übung rechnen...
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 09.12.2008 | | Autor: | sunny567 |
so hoffe ich habe es jetzt verstanden: also
1. Fall wie du geschrieben hast
2. Fall: c= 0 und d ungleich 0
= af * c= eb * c
3. Fall: c ungleich 0 und d= 0
= af * d = eb*d
Hoffe es stimmt.....ansonsten weiß ich jetzt echt nciht mehr weiter......
Finde es aber toll, dass du dir so viel ZEit nimmst um einen hoffnungslosem fall zu helfen 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 09.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
So, fast...schreibs so auf:
aus (i) => ad=0 [mm] =>(d\ne0) [/mm] =>a=0
aus(ii) => ed=0=> [mm] (d\ne0) [/mm] =>e=0
=>af=0*f=0=0*b=eb => (a,b)~e,f)
für 3. analog. Das kannst du sogar so schreiben, wenn du das nicht mehr hinbekommst, geht áber so wie 2. nur mit dem anderen [mm] \ne0
[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Di 09.12.2008 | | Autor: | sunny567 |
ok, vielen vielen Dank für deine Geduld.....habe jetzt wenigstens etwas verstanden und stehe morgen nicht mit leeren händen da!
DANKE!!!
|
|
|
|
