Äquivalenzklassen bestimmen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | X,Y sind nichtleere Mengen und f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Auf X wird eine Relation [mm] \sim [/mm] definiert durch:
[mm] x_1 \sim x_2 \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist und bilden sie die Äquivalenzklassen. Beschreiben Sie explizit die Menge X/ [mm] \sim [/mm] für den Fall, dass f injektiv ist |
Gezeigt, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt habe ich schon, nur weiß ich nicht, wie ich das mit den Äquivalenzklassen anstellen soll. Man spricht doch von einer Äquivalenzklasse, wenn zB folgendes für [mm] x_1 [/mm] gilt oder? :
[mm] [x_1] [/mm] = { [mm] x_2 \in [/mm] X| [mm] x_1 \sim x_2 [/mm] }...also sozusagen die Menge aller Elemente, die zu [mm] x_1 [/mm] in Relation stehen. Muss ich dasselbe dann auch noch für [mm] [x_2] [/mm] bestimmen und das wärs dann?
Wenn f injektiv ist gilt folgendes: [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2, [/mm] weiter weiß ich allerdings nicht, da ich nicht weiß, wie ich die Menge aller Äquvalenzklassen darstellen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, du hast also [mm] $[x_1]=\{x_2 \in X | x_1 \sim x_2\}$ [/mm] per Definition der Äquivalenzklasse von [mm] $x_1$. [/mm] Dabei ist [mm] x_1 \in [/mm] beliebig, daher brauchst du das nicht noch einmal für [mm] x_2 [/mm] machen, denn es kommt ja das gleiche raus. Vielleicht ist es einfacher verständlich, wenn man es so schreibt:
Sei $x [mm] \in [/mm] X$. Dann ist die Äquivalenzklasse von x [mm] $[x]=\{x' \in X | x \sim x'\}$. [/mm] Das gilt also für alle x. War das einigermaßen verständlich?
Aber in diesem speziellen Fall kann man (und wahrscheinlich ist es ach gewollt) die Äquivalenzklasse von x noch etwas expliziter schreiben, weil du ja auch eine explizit gegebene Äquivalenzrelation hast. Hier sind ja alle $x'$ äquivalent zu $x$, falls $x$ und $x'$ auf das gleiche Bild geschmissen werden, d.h. $f(x)=f(x')$. Baue das in deine Äquivalenzklasse ein.
Falls $f$ injektiv ist: Ok, also in $[x]$ liegen wieder alle $x'$, sodass $f(x)=f(x')$ gilt. Natürlich liegt $x$ in $[x]$ (denn [mm] \sim [/mm] ist ja reflexiv). Jetzt überlege mal, ob noch weitere [mm] $x'\not= [/mm] x$ da drinnen liegen können. Formuliere dafür deine Injektivitätsbedingung mal um (Kontraposition, wenn dir das etwas sagt).
Edit: Und wenn du noch etwas unsicher mit Äquivalenzklassen etc. bist, dann kannst du dir ja mal für diesen Fall eine Spezielle Funktion wählen. z.B. [mm] f(x)=x^2.
[/mm]
Hier wäre z.B. [mm] [2]=\{2, -2\}, [/mm] denn 2 und -2 werden ja beide auf den gleichen Wert 4 geworfen. Ähnliches gilt für alle anderen Werte außer 0, also [mm] $[a]=\{a, -a\}$ [/mm] für alle [mm] $a\not=0$. [/mm] Und dann gilt hier noch [mm] [0]=\{0\}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Zero_112 |
Soll ich meine Äquivalenzklasse also wie folgt ausbauen:
[mm] [x_1] [/mm] = { [mm] x_2 \in [/mm] X | [mm] x_1 [/mm] ~ [mm] x_2 \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] } ?
Zur Injektivität: [mm] f(x_1) \not= f(x_2) \gdw x_1 \not= x_2 [/mm]
Es können keine weiteren [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] da drinnen liegen, da jedes Element aus Y nur höchstens ein Urbild haben darf. Also sind die Äquivalenzklassen einelementige Mengen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Zero_112,
> Soll ich meine Äquivalenzklasse also wie folgt ausbauen:
>
> [mm][x_1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ [mm]x_2 \in[/mm] X | [mm]x_1[/mm] ~ [mm]x_2 \gdw f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ ?
Schreibe lieber: $[x_1]=\{x_2\in X\;|\;f(x_1)=f(x_2)\}$.
> Zur Injektivität: [mm]f(x_1) \not= f(x_2) \gdw x_1 \not= x_2[/mm]
> Es können keine weiteren [mm]x_1 \not= x_2[/mm] da drinnen liegen,
> da jedes Element aus Y nur höchstens ein Urbild haben
> darf. Also sind die Äquivalenzklassen einelementige
> Mengen, oder?
Genau! Es gilt:
[mm] $[x_1]=\{x_2\in X\;|\;f(x_1)=f(x_2)\}=\{x_2\in X\;|\;x_1=x_2\}=\{x_1\}$.
[/mm]
Also [mm] $X/\!\sim\;=\ldots$
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 04.11.2012 | | Autor: | Zero_112 |
X/~ = { { [mm] x_1 [/mm] } | [mm] x_1 \in [/mm] X }...ist das nicht ganz X ? Denn da f injektiv ist kann ich da ja jede Zahl aus X einsetzen, die Injektivitätsbedingung würde doch immer erfüllt werden und da die Menge der Äquivalenzklassen [mm] [x_1] [/mm] ist und [mm] x_1 \in [/mm] X, muss X/~ = X sein oder bin ich da grad ein wenig auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> X/~ = $\{$ $\{$ [mm]x_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ | [mm]x_1 \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X $\}$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau darauf wollte ich hinaus.
> ...ist das nicht ganz X ?
Nein. $X/\sim$ sieht zwar fast aus wie X, ist aber nicht gleich X.
Wenn z.B. $X=\IN_0$ die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0 ist, so ist $X/\sim=\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},\ldots\}$ die Menge der einelementigen Mengen mit Element in den natürlichen Zahlen einschließlich 0. Es gilt z.B. $\{5\}\not=5$.
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