Äquivalenzklassen bestimmen < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Relation [mm] $R_{4}=\left\{(a,b)\in \IZ^{2}| a+b\text{ ist ungerade }\right\}$ [/mm] ist eine Äquivalenzrelation. Wie sehen die Äquivalenzklassen von 1 und 0 aus? |
So wie man anhang der Aufgabenstellung sehen kann, schlage ich mich gerade mit Äquivalenzklassen herum. Ich habe auch schon diverse Forumsbeiträge hier und anderswo durchforstet, aber ich steige bei Thema Äquivalenzklassen irgendwie nicht durch.
Die Definition davon kenne ich, aber ich kann es nicht in Bezug setzen, ich müsste bei der Aufgabe oben ja alle Elemente finden, die zu 1 bzw 0 so in Bezug stehen, dass das Ergebnis noch in der Menge ist, oder?
Muss ich dann eines der beiden Elemente also a, oder b gleich 1 oder 0 setzen und dann überlegen, welche Mengen davon erfasst werden, damit das Ergebnis ungerade bleibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 09.08.2013 | | Autor: | fred97 |
>
Schreiben wir
aRb [mm] \gdw [/mm] a+b ist ungerade
und für a [mm] \in \IZ: [a]:=\{b \in \IZ: aRb\}.
[/mm]
Gesucht sind also [1] und [0]
b [mm] \in [/mm] [1] [mm] \gdw [/mm] 1Rb [mm] \gdw [/mm] 1+b ist ungerade [mm] \gdw [/mm] b ist gerade.
Also: [mm] [1]=\{b \in \IZ: b \quad ist \quad gerade\}
[/mm]
Nun versuch Du Dich mal an [0]
FRED
Edit: Ich war blind. Die in der Aufgabenstellung angegebene Relation ist keine Äquivalenzrelation, denn sie ist nicht reflexiv.
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| Aufgabe | <br>
aRb [mm] \gdw[/mm]a+b ungerade
für [0] würde das ja dann bedeuten:
b [mm] \gdw \in[/mm][0] [mm] \gdw[/mm]0Rb [mm] \gdw[/mm]0+b ist ungerade [mm] \gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b ist ungerade
und das würde dann heißen:
[0] ={b [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| b ist ungerade} |
<br>
So? Ist das dann auch formal so richtig?
Also um eine Äquivalenzklasse zu beschreiben, muß ich dann den betreffenden Faktor für a oder b einsetzen und dann die Bedingungen überprüfen?
Wenn ich dann Z.B. [5] dieser Menge machen würde, müßte ich überlegen für welche 5+b herauskommt, dass das Ganze ungerade ist, was ja dann ebenfalls wäre, dass b gerade ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> aRb [mm] \gdw[/mm]a+b ungerade
> für [0] würde das ja dann bedeuten:
> b [mm]\gdw \in[/mm][0] [mm] \gdw[/mm]0Rb [mm] \gdw[/mm]0+b ist ungerade [mm] \gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> b ist ungerade
> und das würde dann heißen:
> [0] =\{b [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[b]| b ist ungerade\}
>
> <br>
> So? Ist das dann auch formal so richtig?
> Also um eine Äquivalenzklasse zu beschreiben, muß ich
> dann den betreffenden Faktor für a oder b einsetzen und
> dann die Bedingungen überprüfen?
> Wenn ich dann Z.B. [5] dieser Menge machen würde, müßte
> ich überlegen für welche 5+b herauskommt, dass das Ganze
> ungerade ist, was ja dann ebenfalls wäre, dass b gerade
> ist?
Fred hat ja schon gesagt, dass $R\,$ gar keine Äquivalenzrelation auf $\IZ$ ist
(man spricht übrigens oft einfach von einer (zweistelligen) Relation auf $\IZ,$ auch, wenn man
$R \subseteq \IZ \times \IZ$ meint: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Relation_%28Mathematik%29).
Und dann hat Fred auch schon alles gesagt: Wenn wir annehmen würden,
dass [mm] $R\,$ [/mm] (im Gegensatz zur Wirklichkeit) doch eine ÄR wäre, so wäre für
$a [mm] \in \IZ$ [/mm] dann
[mm] $[a]=\{b \in \IZ:\;\;b+a \text{ ungerade}\}.$
[/mm]
Setzen wir mal [mm] $2\IZ=2\cdot\IZ:=\{2z:\;\;z \in \IZ\}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $2\IZ$ [/mm] nichts anderes
als die Menge aller geraden (ganzen) Zahlen. Du kannst leicht folgern, dass dann
[mm] $\IZ \setminus (2\IZ)$ [/mm] einfach die Menge aller ungeraden (ganzen) Zahlen ist.
Und dann wäre in der Tat
[mm] $[0]=\IZ \setminus (2\IZ)$ [/mm] (die Menge aller ungeraden (ganzen) Zahlen)
und
[mm] $[1]=2\IZ$ [/mm] (die Menge aller geraden (ganzen) Zahlen).
Nur, wie Fred schon sagte: [mm] $R\,$ [/mm] ist hier leider gar keine ÄR...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Fr 09.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> <br>Die Relation R_{4} = {(a,b)[mm] \in \IZ^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> | a+b ist ungerade} ist eine Äquivalenzrelation.
Nein, das ist sie nicht !
FRED
>Wie sehen
> die Äquivalenzklassen von 1 und 0 aus?
>
>
> <br>
>
> So wie man anhang der Aufgabenstellung sehen kann, schlage
> ich mich gerade mit Äquivalenzklassen herum. Ich habe auch
> schon diverse Forumsbeiträge hier und anderswo
> durchforstet, aber ich steige bei Thema Äquivalenzklassen
> irgendwie nicht durch.
> Die Definition davon kenne ich, aber ich kann es nicht in
> Bezug setzen, ich müsste bei der Aufgabe oben ja alle
> Elemente finden, die zu 1 bzw 0 so in Bezug stehen, dass
> das Ergebnis noch in der Menge ist, oder?
> Muss ich dann eines der beiden Elemente also a, oder b
> gleich 1 oder 0 setzen und dann überlegen, welche Mengen
> davon erfasst werden, damit das Ergebnis ungerade bleibt?
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| Aufgabe | <br>
Sorry da ging was durcheinander es ist nicht [mm] \IZ[/mm] sondern [mm]\IZ^{2}[/mm]
dann ist die reflexivität ja gegeben, soweit ich das beurteilen kann? |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> <br>
> Sorry da ging was durcheinander es ist nicht [mm] \IZ[/mm] sondern [mm]\IZ^{2}[/mm]
wo?
> dann ist die reflexivität ja gegeben, soweit ich das
> beurteilen kann?
Nein: Wäre [mm] $R\,$ [/mm] reflexiv, so müßte für alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] gelten, dass
$z [mm] \;R\;z$
[/mm]
wahr ist. Nun bedeutet aber
[mm] $z\;R\;z$
[/mm]
per Definitionem nichts anderes, als, dass [mm] $z+z\,$ [/mm] ungerade wäre. Allerdings
ist $z+z=2z$ [mm] "$\textbf{sogar niemals}$" [/mm] (also für kein einziges $z [mm] \in \IZ$) [/mm] ungerade!
Gruß,
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| Aufgabe | <br>
[(a,b)[mm] \in \IZ^2[/mm]| a+b ist ungerade] soll aber laut Aufgabenstellung aus einer alten Klausur eine Äquivalenzrelation sein. |
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Werfe ich da jetzt alles durcheinander? Da es sich um eine "offizielle" Aufgabe handelt, gehe ich mal davon aus, dass das mit der Äquivalenzrelation auch stimmt. In der ursprünglichen Frage hatte ich irgendwie massive Probleme mit dem Formeleditor.
Grade bin ich auch extremst verwirrt und kann mir nicht vorstellen was genau ein Element der Menge [mm]\IZ^2[/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [(a,b)[mm] \in \IZ^2[/mm]| a+b ist ungerade] soll aber laut
> Aufgabenstellung aus einer alten Klausur eine
> Äquivalenzrelation sein.
ersetze "ungerade" durch gerade - dann könnte das passen (Du brauchst
ja einfach nur die Axiome nachrechnen).
> Werfe ich da jetzt alles durcheinander?
Das weiß ich nicht - vielleicht wurdest Du auch nur verwirrt!
> Da es sich um eine
> "offizielle" Aufgabe handelt, gehe ich mal davon aus, dass
> das mit der Äquivalenzrelation auch stimmt.
Es ist aber falsch. Um es noch einfacher zu machen:
Es müßte ja FÜR ALLE $z [mm] \in \IZ$ [/mm] gelten, dass [mm] $z\;R\;z.$ [/mm] Betrachte mal $z:=1:$
Dann gilt $z [mm] \;R\;z \iff 1\;R\;1 \iff [/mm] 1+1 [mm] \text{ ist ungerade}.$
[/mm]
Meines Wissens nach ist aber $2=1+1 [mm] \in \IZ$ [/mm] NICHT ungerade, sondern gerade -
also ist $1 [mm] \;R\;1$ [/mm] FALSCH!
> In der ursprünglichen Frage hatte ich irgendwie massive Probleme
> mit dem Formeleditor.
> Grade bin ich auch extremst verwirrt und kann mir nicht
> vorstellen was genau ein Element der Menge [mm]\IZ^2[/mm] ist.
Ganz einfach: Zeichne Dir bspw. den kartesischen [mm] $\IR^2$ [/mm] und markiere alle
Punkte [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit $x [mm] \in \IZ$ [/mm] und $y [mm] \in \IZ.$ [/mm] Dieses "durch die markierten Punkte
sichtbare 'Gitter'" skizziert dann [mm] $\IZ^2.$
[/mm]
Für die Definition braucht man aber eigentlich auch keine Anschauung:
[mm] $\IZ^2=\IZ \times \IZ=\{(a,b):\;\; a \in \IZ \text{ und }b \in \IZ\}.$
[/mm]
So ist bspw. $(-3,4) [mm] \in \IZ^2,$ [/mm] da sowohl [mm] $-\;3 \in \IZ$ [/mm] als auch $4 [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt,
aber es ist [mm] $(\pi,\;\tfrac{5}{2}) \notin \IZ^2,$ [/mm] da schon [mm] $\pi \notin \IZ$ [/mm] ist...
P.S. Dass [mm] $R\,$ [/mm] reflexiv wäre, würde hier anschaulich bedeuten, dass die
Gerade
[mm] $\text{diag}:=\{(s,t) \in \IR^2:\;\;t=s;\;\; s \in \IR\}$
[/mm]
erfüllen würde, dass
[mm] $(\text{diag} \cap \IZ^2) \subseteq [/mm] R$
gilt. (Deswegen spricht man bei der Reflexivität auch von einer
"Diagonalen" - die bezieht sich aber dann darauf, bzgl. welcher Menge man
eine ÄR eventuell hat:
[mm] $(\text{diag} \cap \IZ^2)$ [/mm] ist quasi "die [mm] $\IZ^2$-Diagonale".)
[/mm]
Einfacher: Die Relation [mm] $R\,$ [/mm] auf [mm] $\IZ$ [/mm] ist reflexiv genau dann, wenn für alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt
$(z,z) [mm] \in R\,.$
[/mm]
(Das ist das Gleiche wie: "Für alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt [mm] $z\;R\;z.$")
[/mm]
Und bei obiger Relation [mm] $R\,$ [/mm] ist noch nicht mal für ein einziges $z [mm] \in \IZ$ [/mm] die
Relation [mm] $z\;R\;z$ [/mm] erfüllt - insbesondere gibt es also auch ein [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] mit
[mm] $(z_0,z_0) \notin R\,.$ [/mm] (Bspw.: [mm] $z_0=1.$) [/mm] Damit kann sie nicht reflexiv sein.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
Ok, alles klar, denke ich habe es jetzt verstanden.
Dann muss da wirklich ein Fehler vorliegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben. Ich bin ein großes Stück weitergekommen im Verständnis. Dankeschön!
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