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| Aufgabe | Definiere auf [mm] \IN \times \IN [/mm] die Relation:
(a,b) ~ (c,d) [mm] :\gdw [/mm] a+d=b+a
Zeigen Sie:
a)~ ist eine Äquivalenzrelation
b)aus der Menge [mm] (\IN \times \IN)/ [/mm] ~ der Äquivalenzklassen definiert die Vorschrift
[mm] \overline{(a,b)} [/mm] + [mm] \overline{(c,d)} [/mm] = [mm] \overline{(a+c,b+d)}
[/mm]
eine wohldefinierte Verknüpfung, die [mm] (\IN \times \IN)/ [/mm] ~ zu einer Gruppe macht |
Hallo,
also, bei der a) muss man ja Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen.
Refl. und Symm. habe ich hinbekommen, bei Trans. komme ich hier nicht weiter:
(a,b) ~ (c,d) [mm] \gdw [/mm] a+d = b+c ; (c,d) ~ (e,f) [mm] \gdw [/mm] c+f = d+e
Wie komme ich jetzt auf (a,b) ~(e,f), also a+f=b+e?
Nun bei der b) muss ich ja die Gruppeneigenschaften nachweisen:
[mm] \overline{(1,1)} \in (\IN \times \IN) \Rightarrow (\IN \times \IN) [/mm] ist nicht-leer
Abgeschlossenheit: Hier fängts schon an bei mir.Wie weise ich das nach? Das mit diesen Äquivalenzklassen verwirrt mich...
Assoziativität: war kein Problem
Neutrales Element: Sei [mm] \overline{(a,b)} \in (\IN \times \IN).
[/mm]
[mm] \overline{(x,y)} [/mm] muss die Eigenschaft haben, dass [mm] \overline{(a,b)} [/mm] + [mm] \overline{(x,y)} [/mm] = [mm] \overline{(a+x,b+y)} [/mm] = [mm] \overline{(a,b)} [/mm] ergibt.
Also ist [mm] \overline{(0,0)} [/mm] das neutrale Element!? (Ist 0 [mm] \in \IN [/mm] ? Normal doch nicht...)
Danke für jegliche Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Definiere auf [mm]\IN \times \IN[/mm] die Relation:
> (a,b) ~ (c,d) [mm]:\gdw[/mm] a+d=b+a
> Zeigen Sie:
Ich vermute mal, dass es rechts b+c heißen soll.
> a)~ ist eine Äquivalenzrelation
> b)aus der Menge [mm](\IN \times \IN)/[/mm] ~ der Äquivalenzklassen
> definiert die Vorschrift
> [mm]\overline{(a,b)}[/mm] + [mm]\overline{(c,d)}[/mm] =
> [mm]\overline{(a+c,b+d)}[/mm]
> eine wohldefinierte Verknüpfung, die [mm](\IN \times \IN)/[/mm] ~
> zu einer Gruppe macht
> Hallo,
>
> also, bei der a) muss man ja Reflexivität, Symmetrie und
> Transitivität nachweisen.
> Refl. und Symm. habe ich hinbekommen, bei Trans. komme ich
> hier nicht weiter:
> (a,b) ~ (c,d) [mm]\gdw[/mm] a+d = b+c ; (c,d) ~ (e,f) [mm]\gdw[/mm] c+f =
> d+e
> Wie komme ich jetzt auf (a,b) ~(e,f), also a+f=b+e?
Indem du deine beiden Gleichungen addierst und die Kürzbarkeit von [mm] (\IN,+) [/mm] ausnutzt. (Der Beweis dafür ist schwierig, aber ich glaube, dass ihr das so ohne Weiteres verwenden dürft.)
>
>
> Nun bei der b) muss ich ja die Gruppeneigenschaften
> nachweisen:
>
> [mm]\overline{(1,1)} \in (\IN \times \IN) \Rightarrow (\IN \times \IN)[/mm]
> ist nicht-leer
muss heißen [mm] (\IN \times \IN)/ [/mm] ~
>
> Abgeschlossenheit: Hier fängts schon an bei mir.Wie weise
> ich das nach? Das mit diesen Äquivalenzklassen verwirrt
> mich...
Die Abgeschlossenheit von [mm] (\IN,+) [/mm] überträgt sich auf die Addition der Äquivalenzklassen.
Versuche doch mal, dir die anschaulich vorzustellen. Was bedeutet es für die Zahlenpaare (a,b) und (c,d), dass sie in der gleichen Äquivalenzklasse liegen ?
>
> Assoziativität: war kein Problem
>
> Neutrales Element: Sei [mm]\overline{(a,b)} \in (\IN \times \IN).[/mm]
muss heißen [mm] (\IN \times \IN)/ [/mm] ~
>
> [mm]\overline{(x,y)}[/mm] muss die Eigenschaft haben, dass
> [mm]\overline{(a,b)}[/mm] + [mm]\overline{(x,y)}[/mm] = [mm]\overline{(a+x,b+y)}[/mm]
> = [mm]\overline{(a,b)}[/mm] ergibt.
> Also ist [mm]\overline{(0,0)}[/mm] das neutrale Element!? (Ist 0
> [mm]\in \IN[/mm] ? Normal doch nicht...)
Das braucht es auch nicht, weil (0,0) nicht das einzige Zahlenpaar ist, das in der Äquivalenzklasse [mm]\overline{(0,0)}[/mm] liegt.
>
> Danke für jegliche Hilfe
>
Gruß Sax.
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