Äquivalenzrelation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf Z (menge der ganzen Zahlen) sei eine Relation definiert durch x~y <=> x-y ist teilbar durch die feste natürliche Zahl n.
a)Zeigen sie, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt
b)Bestimmen sie die zugehörigen Äquivalenzklassen (Hinweis: Für x aus Z gilt x-n*q+r;q,r aus Z, 0 kleiner/gleich r kleiner n
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Und zwar weis ich nicht wie ich mich bei a) ausdrücken soll, also das es auch jemand versteht der es nur liest und bei b) weis ich garnicht was ich machen soll. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 16.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi DarkChrissy
teilbarkeit kann man ganz einfach formalisieren, in dem man sagt: $x [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] ist durch $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] teilbar, wenn es ein $k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gibt, so dass $x = k [mm] \cdot [/mm] n$.
damit kann man dann einfach die äquivalenzrelationseigenschaften formal nachprüfen. zum beispiel die transitivität (das ist im prinzip die schweirigste, die anderen sind noch einfacher):
es sei $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$ - man muss nun zeigen, dass $x [mm] \sim [/mm] z$.
da $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$, sind also $x - y$ und $y - z$ durch $n$ teilbar, es gibt also [mm] $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$, [/mm] so dass $x - y = [mm] k_1 \cdot [/mm] n$ und $y - z = [mm] k_2 \cdot [/mm] n$. man muss nun zeigen, dass auch $x - z$ durch $n$ teilbar ist, dass es also ein [mm] $k_3 \in \mathbb{Z}$ [/mm] gibt, so dass $x - z = [mm] k_3 \cdot [/mm] n$.
das folgt aber aus $x - z = x + 0 - z = x + (-y + y) - z = (x - y) + (y - z) = [mm] k_1 \cdot [/mm] n + [mm] k_2 \cdot [/mm] n = [mm] (k_1 [/mm] + [mm] k_2) \cdot [/mm] n$. wähle also [mm] $k_3 [/mm] := [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 \in \mathbb{Z}$, [/mm] dann gilt $x - z = [mm] k_3 \cdot [/mm] n$, also ist auch $x - z$ durch $n$ teilbar und somit $x [mm] \sim [/mm] z$.
ich hoffe die anderen eigenschaften kriegst du nun selbst hin, poste sie am besten mal zur kontrolle.
grüße
andreas
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hallo Andreas!
also ist das, was du als erstes geschrieben hast, praktisch die Antwort für a)?
bei b)versteh ich nicht, wie du darauf kommst? weil ich hab doch nur x~y ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 16.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> also ist das, was du als erstes geschrieben hast,
> praktisch die Antwort für a)?
nicht wirklich. um zu zeigen, dass eine relation eine äquivalenzrelation ist muss man 3 eigenschaften nachweisen (schaue nach welche dies sind). eine dieser 3 eigenschaften habe ich nachgewiesen, ich hoffe es ist klar welche. den nachweis der anderen beiden eigenschaften habe ich dir überlassen, die sollten aber einfach sein, wenn du meinen beweis verstanden hast. also lies ihn dir nochmal durch und frage nach, wenn etwas unklar ist und probiere danach die beiden anderen eigenschaften für diese äquivalenzrelation nachzuweisen.
> bei b)versteh ich nicht, wie du darauf kommst? weil ich hab
> doch nur x~y ?
zu b) habe ich noch gar nichts geschrieben.
probiere also zuerstmal vollständig zu zeigen, dass es sich um eine äquivalenzrelation handelt und poste deine vorschläge.
grüße
andreas
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also, ich hab mir da jetzt was überlegt. eigentlich wollte ich nachweisen das x~x gilt, aber naja, schau dir es mal an:
es sei x~y und y~x, man muss zeigen x~x
da x~y und y~x, sind x-y und y-x durch n teilbar., es gibt also ein k1, k2 aus Z
x-y = k1*n und y-x = k1*n
man muss zeigen das gilt: x-x= k2*n
x-x = x+0-x
= x+(-y+y) -x = x-y+ y-x
Zwischenschieben:
also eigentlich müsste es ja jetzt schon bewiesen sein, da x-x = o und x-y + y-x = o oder?
ich mah einfach mal weiter:
= (k1*n) + (k1*n)
= (k1+k1)*n da gilt k1+k1 = k2
= k2*n
weiter komm ich nicht, also du siehst, ich rauch dringend hilfe. wäre nett wenn du mir nochmal antworten würdest.
Christina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Di 18.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du wolltest also Reflexivität zeigen ?
du musst doch nur zeigen, dass x~x gilt, d.h. dass x-x durch n teilbar ist (wenn n fest gewählt wurde), aber x-x=0 und 0 ist durch alle n teilbar, denn 0=0*n
Weiterhin musst du noch Symmetrie zeigen, d.h. wenn man vorraussetzt, dass x~y gilt, dann muss man zeigen, dass auch y~x gilt.
also : sei x~y, d.h x-y ist durch n teilbar , d.h. es gibt k so dass x-y=k*n
es ist aber auch -(x-y)=(y-x)=-k*n , also hat man t=(-k) wieder solch eine Zahl gefunden und deshalb ist auch y-x durch n teilbar also y~x
jetzt etwas klarer?
viele Grüße
DaMenge
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oh, ja! Super! Danke! Manchmal bin ich echt blöd, aber jetzt hab ich es verstanden! Danke nochmal! Christina
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