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| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] \IR *=\IR [/mm] \ { 0 } und die Relation R [mm] \subseteq \IR [/mm] * [mm] \times \IR [/mm] * mit xRy : [mm] \gdw [/mm] x=y [mm] \vee [/mm] x*y=1
Zeigen sie, dass R Äquivalenzrelation ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das ist eine Übungsaufgabe. Zu zeigen ist Reflexivität, Transitivität und Symmetrie... also haben wir angefangen:
Reflexivität:
[mm] \forall [/mm] x: (xRx) [mm] \to [/mm] x=x folgt aus der definition der Relation oder liege ich falsch und ist die Reflexivität damit auch schon bewiesen?
Zur symmetrie und transitivität habe ich verschiedenes versucht...
Transitivität:
[mm] \forall [/mm] x,y,z: (xRy [mm] \wedge [/mm] yRz) [mm] \to [/mm] xRz auf die relation angewand...
((x*y=1) [mm] \wedge [/mm] (y*z=1)) [mm] \to [/mm] x*z=1 damit dies erfüllt ist hab ich mir folgendes überlegt...
((y=1/x) [mm] \wedge [/mm] (1/x*z=1)) [mm] \to [/mm] x*z=1 und weiter dann...
((y=1/x) [mm] \wedge [/mm] (1/x=1/z)) [mm] \to [/mm] x*z=1 ...
Bekomme irgendwie nur raus das x=y oder x=y=1 sein muss für die symmetrie und für die transitivität y=1/x=1/z und x=z=1 sein muss... Denke aber das irgendwas vergessen habe oder ich einen entscheidenen Fehler mache da ich nicht weiß wie genau ich herrangehen soll um diesen Beweis zu schaffen... Ich bitte um einen Tipp oder korrektur oder Lösungsanfang, wo ich dann sehe wie genau ich an den Beweis herran gehen kann.
Danke im vorraus...
MfG inf-freak
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Hallo inf-freak
> Gegeben sei die Menge [mm]\IR *=\IR[/mm] \ { 0 } und die Relation R
> [mm]\subseteq \IR[/mm] * [mm]\times \IR[/mm] * mit xRy : [mm]\gdw[/mm] x=y [mm]\vee[/mm] x*y=1
> Zeigen sie, dass R Äquivalenzrelation ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Das ist eine Übungsaufgabe. Zu zeigen ist Reflexivität,
> Transitivität und Symmetrie... also haben wir angefangen:
>
> Reflexivität:
>
> [mm]\forall[/mm] x: (xRx) [mm]\to[/mm] x=x folgt aus der definition der
> Relation oder liege ich falsch und ist die Reflexivität
> damit auch schon bewiesen?
Ja, das folgt direkt aus der Definition von R, ich würde nur umgekehrt argumentieren: x=x [mm] \Rightarrow [/mm] xRx fertig 
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> Zur symmetrie und transitivität habe ich verschiedenes
> versucht...
>
> Transitivität:
>
> [mm]\forall[/mm] x,y,z: (xRy [mm]\wedge[/mm] yRz) [mm]\to[/mm] xRz auf die relation
> angewand...
>
> ((x*y=1) [mm]\wedge[/mm] (y*z=1)) [mm]\to[/mm] x*z=1 damit dies erfüllt ist
> hab ich mir folgendes überlegt...
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> ((y=1/x) [mm]\wedge[/mm] (1/x*z=1)) [mm]\to[/mm] x*z=1 und weiter dann...
>
> ((y=1/x) [mm]\wedge[/mm] (1/x=1/z)) [mm]\to[/mm] x*z=1 ...
>
> Bekomme irgendwie nur raus das x=y oder x=y=1 sein muss für
> die symmetrie und für die transitivität y=1/x=1/z und x=z=1
> sein muss... Denke aber das irgendwas vergessen habe oder
> ich einen entscheidenen Fehler mache da ich nicht weiß wie
> genau ich herrangehen soll um diesen Beweis zu schaffen...
> Ich bitte um einen Tipp oder korrektur oder Lösungsanfang,
> wo ich dann sehe wie genau ich an den Beweis herran gehen
> kann.
Transitivität: Seien xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Leftrightarrow (xy=1\vee x=y)\wedge (yz=1\vee [/mm] y=z)
Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen (wobei der einzig "schwierige" Fall folgender ist:)
1.Fall: [mm] xy=1\wedge [/mm] yz=1 [mm] \Rightarrow x(yz)=x\cdot{}1=x [/mm] und andererseits [mm] x(yz)=(xy)z=1\cdot{}z=z [/mm] also xRz , da x(yz)Rx(yz) wegen der Reflexivität
2.Fall: [mm] xy=1\wedge [/mm] y=z trivial
3.Fall: [mm] x=y\wedge [/mm] yz=1 ebenso
4.Fall: [mm] x=y\wedge [/mm] y=z auch
Die Symmetrie folgt auch aufgrund der Def von R
Gruß
schachuzipus
> Danke im vorraus...
>
> MfG inf-freak
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hi schachuzipus
> Transitivität: Seien xRy [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Leftrightarrow (xy=1\vee x=y)\wedge (yz=1\vee[/mm]
> y=z)
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> Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen (wobei der
> einzig "schwierige" Fall folgender ist:)
>
> 1.Fall: [mm]xy=1\wedge[/mm] yz=1 [mm]\Rightarrow x(yz)=x\cdot{}1=x[/mm] und
> andererseits [mm]x(yz)=(xy)z=1\cdot{}z=z[/mm] also xRz , da
> x(yz)Rx(yz) wegen der Reflexivität
>
> 2.Fall: [mm]xy=1\wedge[/mm] y=z trivial
>
> 3.Fall: [mm]x=y\wedge[/mm] yz=1 ebenso
>
> 4.Fall: [mm]x=y\wedge[/mm] y=z auch
>
> Die Symmetrie folgt auch aufgrund der Def von R
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Ich bedanke mich erstmal dick bei dir... du hast mir mal richtig weiter geholfen...
Fall 1 erscheinte mir zuerst garnicht überschaubar, wurde dann aber verständlich nach mehrmaligen überlegen...
zur Symmetrie:
xRy [mm] \to [/mm] yRx [mm] \gdw [/mm] (x=y [mm] \vee [/mm] xy=1)
x=y [mm] \Rightarrow [/mm] xRy
y=x [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
x=1/y [mm] \Rightarrow [/mm] xRy
y=1/x [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
ergibt sich halt aus der relation das x und y in relation stehen...
Danke nochmal, mir ist ein Licht aufgegangen ;P
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Hi
na prima, so soll es sein
Gruß
schachuzipus
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