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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 15.04.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring, und sei S ein Teilmenge von R, so dass :
a) 1 [mm] \in [/mm] S,
b) xy [mm] \in [/mm] S, für alle x, y [mm] \in [/mm] S.
Wir definieren eine Relation auf R × S durch : Für alle (r1, s1), (r2, s2) [mm] \in [/mm] R × S,
(r1, s1) [mm] \sim [/mm] (r2, s2) , es existiert s [mm] \in [/mm] S mit ss2r1 = ss1r2.
Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist. |
Hallo, ich habe auch hier keine Ahnung wie man so etwas zeigt,
könnt ihr mir erklären was ich zun muss?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 15.04.2007 | | Autor: | Micha |
Hallo Christoph!
> Sei R ein kommutativer Ring, und sei S ein Teilmenge von R,
> so dass :
> a) 1 [mm]\in[/mm] S,
> b) xy [mm]\in[/mm] S, für alle x, y [mm]\in[/mm] S.
> Wir definieren eine Relation auf R × S durch : Für alle
> (r1, s1), (r2, s2) [mm]\in[/mm] R × S,
> (r1, s1) [mm]\sim[/mm] (r2, s2) , es existiert s [mm]\in[/mm] S mit ss2r1 =
> ss1r2.
> Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
> Hallo, ich habe auch hier keine Ahnung wie man so etwas
> zeigt,
> könnt ihr mir erklären was ich zun muss?
>
Also zunächst einmal sollte man sich überlegen, womit man es zu tun hat. Die Äquivalenzrelaztion beschreibt die Brüche im Ring R mit Nennern aus
$S [mm] \subset [/mm] R$. Die Relation ist erfüllt, wenn ein Punkt aus $R [mm] \times [/mm] S$ durch Brucherweiterung entsteht:
z.B. ist ja $(1,2) [mm] \sim [/mm] (2,4)$ bzw. [mm] $\frac{1}{2} \sim \frac{2}{4}$.
[/mm]
Kommen wir nun zu deiner Frage:
Für den Beweis musst du checken, ob die Relation reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
Reflexiv, ist sie wenn jedes Element zu sich selbst in Relation steht, das ist hier einfach.
Transitiv ist sie, wenn aus [mm] $a\sim [/mm] b $ uns [mm] $\b \sim [/mm] c$ folgt, das [mm] $a\sim [/mm] c$. Wie sieht es dann hier aus? Was ist zu zeigen?
Zuletzt ist noch die symmetrie zu zeigen, nämlich wenn du hast $a [mm] \sim [/mm] b$ so soll folgen $b [mm] \sim [/mm] a$. Gilt das hier?
Wie schaut das alles genau aufgeschrieben aus?
Gruß Micha 
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