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Forum "Relationen" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mo 30.04.2007
Autor: Decehakan

Sei gegeben eine Menge { 1,2,3} und  man bilde eine  Äquivalenzrelation darauf .... :)
wieviel Äquivalenzrelation könnte man auf der menge  (1,2,3) bilden ?

Wäre die Relation := (  (1,1) ) eine  Äquivalenzrelation relation auf M?

denn R :={(a,b) e M}

wenn nicht ?warum nicht ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Mo 30.04.2007
Autor: komduck

Eine Äquivalenzrelation ist reflexsiv, symetrisch und transitiv.
[mm] \{(1,1)\} [/mm] ist nicht reflexsiv.
[mm] \{(1,1),(2,2),(3,3)\} [/mm] ist die kleinste Äquivalenzrelation.

Eine wichtige Eigenschaft von einer Äquivalenzrelation ist, dass sie
die Menge in eine Partition zerlegt.

komduck

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Mo 30.04.2007
Autor: Decehakan

was ich aber nicht verstehe warum ist dann (1,1) (2,2),(3,3)

die kleinste äquivalenzrelation ? das ist eine reflexive aber keine transitive oder symmetrie relation ?

oder kannst du es mir begründen ?

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mo 30.04.2007
Autor: SEcki


> was ich aber nicht verstehe warum ist dann (1,1)
> (2,2),(3,3)
>  
> die kleinste äquivalenzrelation ? das ist eine reflexive
> aber keine transitive oder symmetrie relation ?

Wieso denkst du das sie es nicht ist? Symmetrie zB: Sei x in Relation zu y, [m]xRy[/m], dann folgt [m]x=y[/m] also trivialerweise Symmetrie.

SEcki

Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Di 01.05.2007
Autor: Decehakan

wieviel äquivalenzrelation lassen sich auf der menge {1,2,3} bilden?

R ist die teilmenge von  M x M ,muss ich dann auch die teilmengen  von M beachten ?

wenn ja begründung ?



Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Di 01.05.2007
Autor: komduck

Wenn ich eine Äquivalenzrelation R habe dann kann ich
Äquivalenzklassen definiere:
[a] = [mm] \{ x \in M | R(x,a) \} [/mm]
Wenn ich die Menge aller Äquivalenzklassen betrachte:
[mm] \{ [x] | x \in M \} [/mm] dann entsteht eine Partition von M. Das
bedeutet jedes Element von M liegt genau in einer Äquivalenzklasse.
Man schaut also wie man die Menge zerlegen kann und defieniert
R, sodaß genau diese Mengen als Äquivalenzklassen entstehen.
[mm] \{1,2,3\} [/mm] = [mm] \{1\} \cap [/mm] {2} [mm] \cap \{3\} [/mm]
= [mm] \{1,2\} \cap [/mm] {3}
= [mm] \{2,3\} \cap [/mm] {1}
= [mm] \{1,3\} \cap [/mm] {2}
Das sind 5 Möglichkeiten.
Für [mm] \{1,2\} \cap [/mm] {3} wäre
R = [mm] \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\} [/mm]

komduck


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