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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Fr 02.11.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Es geht um folgende Aufgabe:
Es sei A eine Menge. [mm] R=\{(X,Y) | X \subseteq A \wedge Y \subseteq A \wedge X \subseteq Y } [/mm] ist dann eine Relation auf der Potzenmenge [mm] \mathcal{P}(A). [/mm] Ist R reflexiv?. Beweisen Sie Ihre Aussage. |
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, welche Elemente denn nun in die Potenzmenge gehören. Also innerhalb der Relation steht doch
X [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \wedge [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] Y. Sagt das nicht aus, dass R transitiv ist? Wenn ja, wie kann ich das belegen und wie komm ich von transitiv auf reflexiv? Und reflexiv bedeutet ja, dass für alle x aus R gelten muss: (x,x).
Mir fehlt auch der allgemeine Ansatz für eine entsprechende Beweisführung.
Wer kann mir helfen?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß, Ralf
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Hallo Ralu,
Steht die Aufgabe wirklich so da? Da steht nämlich nichts von Äquivalenzrelation usw.
also, zuerst: was ist die Potenzmenge von A?
A ist einfach eine gegebene Menge und P(A) sind alle möglichen Teilmengen, die du in A bilden kannst, inkl. die leere Menge und die ganze Menge A.
Bspw.: A={1,2}.
Dann ist P(A)={{},{1},{2},{1,2}}.
Gegeben ist also die Relation $ [mm] R=\{(X,Y) | X \subseteq A \wedge Y \subseteq A \wedge X \subseteq Y } [/mm] $
Warum meinst du diese Relation ist transitiv? Du musst schon erklären, was transitiv in diesem Fall heisst und wie du darauf kommst.
Man kann die Reflexitivität aber auch ohne Transitivität zeigen. Wie zeigt man das also? Du setzt einfach {X,X} in deine Relation ein und prüfst damit, dass X nicht gleichzeitg in 2 Klassen sein kann.
Naja also konkret: X [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] X. Und das stimmt ja für jede beliebige Menge X, also ist reflexiv gegeben.
Schönen Abend noch
GorkyPark
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