Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und U [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum. Wir definieren die folgende Relation auf V : es seien v1, v2 [mm] \in [/mm] V,
v1 [mm] \sim [/mm] v2 genau dann, wenn v1 − v2 [mm] \in [/mm] U.
a) Zeigen Sie: [mm] \sim [/mm] ist eine Äquivalenzrelation. |
Hey Leute,
mein ansatz:
bew:
zzg: symmetrie, reflexivität, transitivität
setzte v1 = v2
symmetrie: sei v1 [mm] \sim [/mm] v2 [mm] \Rightarrow [/mm] v1 - v2 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v1 = v2 [mm] \Rightarrow [/mm] v2 = v1 [mm] \Rightarrow [/mm] v2 [mm] \sim [/mm] v1
transitivität...lass ich hier mal weg
reflexivität mit v3
nicht erschrecken :), bräuchte hilfe!!
frage wäre zb, was mach ich wenn v1 und v2 ungleich sind und woher soll ich wissen ob dann v1 - v2 in U steckt?
Wie zeig ich die symmetrie wenn sie ungleich sind? v1 - v2 = x villeicht und dann umstellen auf v2 - v1 = y ? Dann müsste ich aber wieder zeigen, dass y in U ist usw...
danke!!!
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Hallo mathlooser,
> Es sei V ein K-Vektorraum und U [mm]\subset[/mm] V ein
> Untervektorraum. Wir definieren die folgende Relation auf V
> : es seien v1, v2 [mm]\in[/mm] V,
>
> v1 [mm]\sim[/mm] v2 genau dann, wenn v1 − v2 [mm]\in[/mm] U.
>
> a) Zeigen Sie: [mm]\sim[/mm] ist eine Äquivalenzrelation.
> Hey Leute,
>
> mein ansatz:
>
> bew:
>
> zzg: symmetrie, reflexivität, transitivität
>
> setzte v1 = v2 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wieso? Du musst doch Symmetrie, Transitivität und Reflexivität für beliebige Vektoren aus V zeigen
>
> symmetrie: sei v1 [mm]\sim[/mm] v2 [mm]\Rightarrow[/mm] v1 - v2 = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] v1 = v2 [mm]\Rightarrow[/mm] v2 = v1 [mm]\Rightarrow[/mm] v2 [mm]\sim[/mm]
> v1
Das ist eher der Reflexivitätsnachweis 
Sei [mm] $v\in [/mm] V$
[mm] $\Rightarrow -v\in [/mm] V$, da V VR ist [mm] $\Rightarrow 0=v-v\in [/mm] V$, da V als VR die 0 enthält
[mm] $\gdw v\sim [/mm] v$
> transitivität...lass ich hier mal weg
Schade, das ist das eigentlich Spannende
>
> reflexivität mit v3
>
> nicht erschrecken :), bräuchte hilfe!!
>
> frage wäre zb, was mach ich wenn v1 und v2 ungleich sind
> und woher soll ich wissen ob dann v1 - v2 in U steckt?
>
> Wie zeig ich die symmetrie wenn sie ungleich sind? v1 - v2
> = x villeicht und dann umstellen auf v2 - v1 = y ? Dann
> müsste ich aber wieder zeigen, dass y in U ist usw...
Nun, nimm beliebige [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ mit [mm] $v_1\sim v_2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow v_1-v_2\in [/mm] U$
So ist ja die Relation definiert.
Nun ist U als UVR insbesondere ein VR, also ist mit [mm] $v_1-v_2\in [/mm] U$ auch [mm] $-(v_1-v_2)=v_2-v_1\in [/mm] U$
und das bedeutet nach der Definition von [mm] $\sim$ [/mm] nichts anderes als [mm] $v_2\sim v_1$
[/mm]
Ok, nun müsstest du das Prinzip sehen, versuch dich mal an der Transitivität. Du musst benutzen, dass U ein VR ist, also insbesondere abgeschlossen bzgl. der Vektoraddition ist
Jetzt hab' ich schon fast zu viel verraten
Also mach dich mal an den Transitivitätsnachweis und poste mal, wie weit du kommst
LG
schachuzipus
>
> danke!!!
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Hallo, danke erstmal für die antwort!!!
das der nachweis für die symmetrie eher für die reflexivität gilt, leuchtet mir ein.
Setzte v1 = v2 für beliebige v1,v2 [mm] \in [/mm] U
Reflexivität: v1 [mm] \sim [/mm] v2 [mm] \Rightarrow [/mm] v1 - v2 = 0
v1 = v2 [mm] \Rightarrow [/mm] v2 = v1 [mm] \Rightarrow [/mm] v2 [mm] \sim [/mm] v1
ich glaub besser wäre dein beispiel, aber ist das jetzt so richtig? allerdings frag ich mich ob es erlaubt ist sich einfach irgendein v [mm] \in [/mm] V zu setzten und nicht mit den gegebenen werten (v1, v2) zu arbeiten.
Wahrscheinlich ist die antwort darauf "für ein beliebiges element" :)
symmetrie leuchtet mir auch ein.
Transitivität:
bew:
Sei v3 [mm] \in [/mm] U
zzg: für v1,v2,v3 [mm] \in [/mm] U gilt v1 [mm] \sim [/mm] v2 und v2 [mm] \sim [/mm] v3 => v1 [mm] \sim [/mm] v3
Nehme an v1 [mm] \sim [/mm] v2 und v2 [mm] \sim [/mm] v3 dann gilt v1 - v2 [mm] \in [/mm] U und v2 - v3 [mm] \in [/mm] U
naja wie zeige ich dass v1 - v3 [mm] \in [/mm] U gilt?
Was bedeutet abgeschlossen?
gruss
mathlooser
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Hallo, ich versuch mich mal daran. Die Mathe-Götter in diesem Forum mögen mich bitte korrigieren, wenn ich Blödsinn erzähle...
> Hallo, danke erstmal für die antwort!!!
>
> das der nachweis für die symmetrie eher für die
> reflexivität gilt, leuchtet mir ein.
>
> Setzte v1 = v2 für beliebige v1,v2 [mm]\in[/mm] U
>
> Reflexivität: v1 [mm]\sim[/mm] v2 [mm]\Rightarrow[/mm] v1 - v2 = 0
> v1 = v2 [mm]\Rightarrow[/mm] v2 = v1 [mm]\Rightarrow[/mm] v2 [mm]\sim[/mm] v1
Also um die Reflexivität zu zeigen, brauchste nichts setzen. Zu zeigen ist ja bei der Refl., dass [mm] v_1 \sim v_1 [/mm] gilt, das kannste so machen:
[mm] v_1 [/mm] - [mm] v_1 [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] U (da U als Untervektorraum die 0 (Nullvektor) enthält)
[mm] \Rightarrow v_1 \sim v_1
[/mm]
>
> ich glaub besser wäre dein beispiel, aber ist das jetzt so
> richtig? allerdings frag ich mich ob es erlaubt ist sich
> einfach irgendein v [mm]\in[/mm] V zu setzten und nicht mit den
> gegebenen werten (v1, v2) zu arbeiten.
> Wahrscheinlich ist die antwort darauf "für ein beliebiges
> element" :)
Du brauchst eigentlich nichts setzen, du arbeitest nur mit [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] (und bei der Transitivität noch mit [mm] v_3), [/mm] die auch keine fest gewählten Werte sind, sondern beliebige Vektoren aus V.
>
> symmetrie leuchtet mir auch ein.
>
> Transitivität:
>
> bew:
>
> Sei v3 [mm]\in[/mm] U
>
> zzg: für v1,v2,v3 [mm]\in[/mm] U gilt v1 [mm]\sim[/mm] v2 und v2 [mm]\sim[/mm] v3 =>
> v1 [mm]\sim[/mm] v3
>
> Nehme an v1 [mm]\sim[/mm] v2 und v2 [mm]\sim[/mm] v3 dann gilt v1 - v2 [mm]\in[/mm] U
> und v2 - v3 [mm]\in[/mm] U
>
Bis hierher schon mal alles gut 
> naja wie zeige ich dass v1 - v3 [mm]\in[/mm] U gilt?
>
> Was bedeutet abgeschlossen?
Die Abgeschlossenheit ist hierbei sehr wichtig, abgeschlossen bedeutet folgendes:
Du hast ein [mm] u_1 [/mm] und ein [mm] u_2 \in [/mm] U, also aus deinem Untervektorraum. Wenn ich jetzt [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] addiere, dann ist die Summe wieder Element von U, ich kann also alle Vektoren aus U addieren so oft ich will und bleibe immer in U.
Also sei [mm] v_1 \sim v_2 [/mm] und [mm] v_2 \sim v_3, [/mm] dann gilt
[mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2 \in [/mm] U und
[mm] v_2 [/mm] - [mm] v_3 \in [/mm] U
Aus der Abgeschlossenheit von U folgt dann
[mm] \underbrace{\underbrace{v_1 - v_2}_{\in U} + \underbrace{v_2 - v_3}_{\in U} }_{\in U} [/mm]
[mm] \gdw v_1 [/mm] - [mm] v_3 \in [/mm] U
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Sa 24.11.2007 | | Autor: | mathlooser |
SUPER ERKLÄRT!!!!
DANKE!!!
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