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Ich habe eine Frage zu diesem Beispiel bei Äquivalenzklassen:
Rn:={(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ, [/mm] n|b-a}
[a]={a+m*n, [mm] m\in \IZ [/mm] }
In der Äqiuvalenzklasse sind doch alle Elemente enthalten, die äquivalenz zu zu einem Element sind, also z.B. bei einer Schulklasse ist die Äquivalenzklasse eines Schülers, die Menge aller seiner Mitschüler, weil er zu diesen äquivalent ist.
Was gibt nun obige Äquivalenzlasse an?
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> Ich habe eine Frage zu diesem Beispiel bei
> Äquivalenzklassen:
> [mm] R_n:=\{(a,b)in \IZ \times \IZ, n|b-a\}
[/mm]
>
> [mm] [a]=\{a+m*n, m\in \IZ \}
[/mm]
> Was gibt nun obige Äquivalenzlasse an?
Die Äquivalenzklasse eines Elementes enthält alle Elemente, die zu ihm äquivalent sind.
[a] enthält also alle zu a äquivalenten Elemente, dh. [mm] [a]:=\{ x\in \IZ | (a,x) \in R_n\}= \{x\in \IZ | n|(x-a) \},
[/mm]
und daß das genau die Menge [mm] \{a+m*n, m\in \IZ \} [/mm] ist, kannst (oder sollst?) Du Dir überlegen.
Falls Du Dir's überlegen sollst, wäre also zu zeigen: [mm] \{x\in \IZ | n|(x-a) \}=\{a+m*n, m\in \IZ \}
[/mm]
Gruß v. Angela
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hmmm...also wenn n (a-x) teilt dann muss es ein m geben, welches mit n malgennommen a-x ergibt:
a-x=n*m, dann gilt für alle x= n*m+a, d.h.mit dieser Gleichung kann ich alle x finden, die zu a äquivalent sind?
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> hmmm...also wenn n (a-x) teilt dann muss es ein m geben,
> welches mit n malgennommen a-x ergibt:
>
> a-x=n*m, dann gilt für alle x= n*m+a, d.h.mit dieser
> Gleichung kann ich alle x finden, die zu a äquivalent sind?
Hallo,
mit dieser Überlegung hast Du $ [mm] \{x\in \IZ | n|(x-a) \}\subseteq \{a+m\cdot{}n, m\in \IZ \} [/mm] $ begründet.
Die umgekehrte Richtung brauchst Du auch noch, daß also alle [mm] a+m\cdot{}n [/mm] zu a äquivalent sind.
Gruß v. Angela
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hmmm...also damit ein x äquivalent zu a ist, muss gelten:
(a+m*n-a):n=m, dies lässt sich umformen, dass dort steht m=m, damit hat man eine wahre Aussage und damit ist man fertig?
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> hmmm...also damit ein x äquivalent zu a ist, muss gelten:
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> (a+m*n-a):n=m, dies lässt sich umformen, dass dort steht
> m=m, damit hat man eine wahre Aussage und damit ist man
> fertig?
Hallo,
der Gedanke ist richtig, die Umsetzung noch nicht perfekt.
Es kommt darauf an, daß n| (a+nm)-a für jedes m.
(a+nm)-a=nm, also ist n Teiler von (a+nm)-a für jedes m.
Der Unterschied zu dem , was Du schreibst:
Du sagst, es muß für Äquivalenz gelten (a+m*n-a):n=m, aber daß da m rauskommt, ist nicht gefordert für Äquivalenz.
Du müßtest dann anders argumentieren: es kommt m raus, also immer eine ganze zahl, also ist n Teiler.
Gruß v. Angela
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nur nochmal um sicherzugehen...die Äquivalenz gilt, weil ich die Defintion so umschreiben kann, dass ich dort stehen habe, dass m*n =(a+m*n-a)?
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> nur nochmal um sicherzugehen...die Äquivalenz gilt, weil
> ich die Defintion so umschreiben kann, dass ich dort stehen
> habe, dass m*n =(a+m*n-a)?
Weil Du das so schreiben kannst, ist n Teiler von ((a+m*n)-a).
Du weißt daher, daß alle Elemente der Form a+m*n in [a] liegen.
Gruß v. Angela
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> Es kommt darauf an, daß n| (a+nm)-a für jedes m.
>
> kannst du den satz nochmal näher erläutern?
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> >
> > >Es kommt darauf an, daß n| (a+nm)-a für jedes m.
> >
> > kannst du den satz nochmal näher erläutern?
Du willst zeigen, daß jedes Element der Bauart a+nm in [a] liegt.
Dazu ist zu zeigen, daß a und a+nm äquivalent sind, und das ist der Fall, wenn n die Differenz von a und a+nm teilt.
Gruß v. Angela
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und das ist erfüllt, wenn es ein m gibt? also wenn es dieses m gibt, dann ist a äquivalent zu (a+nm)?
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> und das ist erfüllt, wenn es ein m gibt? also wenn es
> dieses m gibt, dann ist a äquivalent zu (a+nm)?
Die sind äquivalent, wenn n| ((a+nm-a).
Das bedeutet, daß sie äquivalent sind, wenn es irgendein k gibt mit nk=a+nm-a.
Mit k:=m hat man so eine Zahl gefunden. Also sind sie äquivalent.
Gruß v. Angela
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