Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallo, wie überprüft man ob folgende Relation "reflexiv,symetrisch,transistiv" ist?
Auf der Menge N0 der natürlichen Zahlen einschließlich der Null sei die folgende Relation R definiert:
(n,m) element aus R: = "5 ist Teiler von (n+4m)"
Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?
wäre für ein Tip dankbar.
Gruß Alex
|
Mein Ansatz:
die Relation ist Reflexiv weil egal welche natürliche Zahl ich für n einsetze das Ergebnis ist immer durch 5 Telbar und Symmetrisch weil egal ob es n+4n oder 4n+n heisst es bleibt trotzdem ein Teiler von 5. Aber ist die Relation auch transitiv?
die Definition von transitiv ist ja "aus (x,y) el aus R und (y,z) el aus R folgt (x,z) el aus R, wie kann ich diese Definition auf die Aufgabe übertragen?
wäre für ein Tip dankbar.
Gruß Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo, wie überprüft man ob folgende Relation
> "reflexiv,symetrisch,transistiv" ist?
>
> Auf der Menge N0 der natürlichen Zahlen einschließlich
> der Null sei die folgende Relation R definiert:
>
>
> (n,m) element aus R: = "5 ist Teiler von (n+4m)"
>
> Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Wie viele
> Äquivalenzklassen gibt es?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Mein Ansatz:
> die Relation ist Reflexiv weil egal welche natürliche Zahl
> ich für n einsetze das Ergebnis ist immer durch 5 Telbar
Ja.
Aufgeschrieben: für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt : n+4n=5n ==> (n,n) [mm] \in [/mm] R für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
> und Symmetrisch weil egal ob es n+4n oder 4n+n heisst
Nein, für Symmetrie mußt Du zeigen, daß sofern [mm] (n,m)\in [/mm] R folgt, daß auch (m,n) [mm] \in [/mm] R.
> es
> bleibt trotzdem ein Teiler von 5.
> Aber ist die Relation
> auch transitiv?
>
> die Definition von transitiv ist ja "aus (x,y) el aus R und
> (y,z) el aus R folgt (x,z) el aus R, wie kann ich diese
> Definition auf die Aufgabe übertragen?
Du mußt zeigen wie daraus, daß (x,y) und (y,z) in R sind, es also k,l [mm] \in \IN [/mm] gibt mit x+4y=5k und y+4z=5l folgt, daß [mm] (x,z)\in [/mm] R, daß es also ein [mm] m\in \IN [/mm] gibt mit x+4z=5m.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela, danke für die schnelle Antwort!
Wie gehe ich jetzt am besten vor?Sollte ich versuchen für die Buchstaben Zahlen einzusetzen z.B. so:
x=2;y=7;z=12
um auf folgende Lösung zukommen:
x+4y=5k -----> 2+4*7=5*6
y+4z=5l ------> 7+4*12=5*11
x+4z=5m -----> 2+4*12=5*10
und damit ist die transivität der Relation bewiesen, wie schreibe ich die Antwort Mathematisch richtig auf?
gruß Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela, danke für die schnelle Antwort!
> Wie gehe ich jetzt am besten vor?Sollte ich versuchen für
> die Buchstaben Zahlen einzusetzen z.B. so:
> x=2;y=7;z=12
Nein, so kannst Du das nicht machen !
> um auf folgende Lösung zukommen:
> x+4y=5k -----> 2+4*7=5*6
> y+4z=5l ------> 7+4*12=5*11
> x+4z=5m -----> 2+4*12=5*10
>
> und damit ist die transivität der Relation bewiesen,
Natürlich nicht !
> wie
> schreibe ich die Antwort Mathematisch richtig?
Wir haben:(1) x+4y=5k und (2) y+4z= 5l
Du mußt nun zeigen, das es ein m [mm] \in \IN_0 [/mm] gibt mit x+4z=5m
Addiert man die Gleichungen (1) und (2), so erhält man:
x+4y+y+4z= 5k+5l
oder
x+4z= 5(k+l-y)
Setze nun m:= k+l-y. Wenn Du nun noch zeigen kannst, das m [mm] \in \IN_0 [/mm] ist, bist Du fertig
FRED
>
> gruß Alex
>
|
|
|
| |
|
Ok, danke für die Antwort! Und wenn x und y natürliche Zahlen sind was ja aus Aufgabenstellung hervorgeht muss auch m>0 sein und damit ist die transivität bewiesen.
Und symmetrisch ist die Relation weil aus [mm] (x,y)\in\IR [/mm] folgt [mm] (y,x)\in\IR [/mm] also (n+4m=5k) und (4m+n=5k) ist das korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke für die Antwort! Und wenn x und y natürliche
> Zahlen sind was ja aus Aufgabenstellung hervorgeht muss
> auch m>0 sein
Na,na, nicht so eilig, so einfach geht das nicht !
> und damit ist die transivität bewiesen.
> Und symmetrisch ist die Relation weil aus [mm](x,y)\in\IR[/mm]
> folgt [mm](y,x)\in\IR[/mm] also (n+4m=5k) und (4m+n=5k) ist das
> korrekt?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
Darf ich beim Beweis, dass [mm] m\in\IN [/mm] in die gleichung 5(k+l-y) Zahlen einsetzen?Oder darf man beim Beweis keine Zahlen verwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Darf ich beim Beweis, dass [mm]m\in\IN[/mm] in die gleichung
> 5(k+l-y) Zahlen einsetzen?Oder darf man beim Beweis keine
> Zahlen verwenden?
natürlich keine Zahlen verwenden !!
Wir hatten: x+4y+y+4z= 5k+5l , also ist 5m = 5k+5l-5y= x+4y [mm] \ge [/mm] 0, somit ist auch m [mm] \ge [/mm] 0.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke ich habe die Erklährung verstanden, jetzt brauche ich nur nuch Übung.
Aber noch eine frage hätte ich noch, Wie viele Äquivalenzklassen gibt es hier?Wie ist kann man das raus finden?
|
|
|
| |
|
> Aber noch eine frage hätte ich noch, Wie viele
> Äquivalenzklassen gibt es hier?Wie ist kann man das raus
> finden?
hallo,
wir hatten [mm] (n,m)\in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] 5 teilt n+4m.
Ich würde jetzt mal anfangen aufzuschreiben, welche Elemente in der Äquivalenzklasse von 1 sind:
[mm] [1]=\{ m\in \IN | 5 teilt 1+4m\}=\{ 1, 6, ... \}
[/mm]
Dann für 2 usw. genauso.
Irgendwann sollte Dir etwas auffallen...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Sa 05.12.2009 | | Autor: | capablanca |
Danke für die Hilfe!
|
|
|
|
