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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 02.05.2010 | | Autor: | snoopy89 |
| Aufgabe | Sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass durch
R:={ [mm] (A,B)\in \mathcal{P}(M)x\mathcal{P}(M):card(A)=card(B) [/mm] }
eine Äquivalenzrelation auf [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] definiert wird. |
so das ist meine aufgabe. an sich is mir schon klar, dass es so sein müsste. ich frage mich nur, wie ich das formal am besten aufschreiben kann...
also ich fange mal an:
reflexivität:
sei [mm] A\in \mathcal{P}(M) [/mm] beliebig. Nun folgt, dass (A,A) ein tupel aus [mm] \mathcal{P}(M)x\mathcal{P}(M) [/mm] ist. da weiterhin die kardinalität dieselbe ist, gilt [mm] (A,A)\in [/mm] R.
symmetrie:
seien [mm] A,B\in \mathcal{P}(M). [/mm] es gelte [mm] (A,B)\in [/mm] R, was bedeutet, dass [mm] (A,B)\in \mathcal{P}(M)x\mathcal{P}(M). [/mm] daher folgt, dass [mm] A\in \mathcal{P}(M) [/mm] und [mm] B\in \mathcal{P}(M) [/mm] liegt, weshalb auch [mm] (B,A)\in \mathcal{P}(M)x\mathcal{P}(M) [/mm] gilt. weiterhin gilt, dass card(A)=card(B) ist. somit gilt auch, dass card(B)=card(A) ist und [mm] (B,A)\in [/mm] R.
transitivität:
seien [mm] A,B,C\in \mathcal{P}(M). [/mm] es gelte [mm] (A,B)\in [/mm] R und [mm] (B,C)\in [/mm] R. laut definition gilt: [mm] (A,B)\in \mathcal{P}(M)x\mathcal{P}(M) [/mm] und [mm] (B,C)\in \mathcal{P}(M)x\mathcal{P}(M). [/mm] nach definition des kartesischen produkts liegt auch (A,C) in R. weiterhin gilt card(A)=card(B) und card(B)=card(C), also card(A)=card(B)=card(C). nun gilt auch card(A)=card(C) und [mm] (A,C)\in [/mm] R.
was sagt ihr zu dem aufgeschriebenen? was kann ich noch verbessern und stimmt es inhaltlich überhaupt?
vielen dank für antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles O.K.
FRED
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