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| Aufgabe | [mm] M=\IZ [/mm] x~y: [mm] \gdw [/mm] x+2y ist durch 3 teilbar.
Zeige: eine Äquivalenzrelation liegt vor und bestimme die Quotientenmenge M/~. |
Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen?
Also ich habe eine Menge der ganzen Zahlen. x ist äquivalent zu y, wenn x+2y durch 3 teilbar ist.
Also muss ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen. Allerdings weiß ich nicht, wie man das bei x+2y zeigen soll. Ich kannte das bisher nur bei Mengenelementen.
Die Quotientenmenge entsteht, wenn man die äquivalenten Elemente „gleich macht“.
leider finde ich keinen richtigen Anfang!
Gruß, Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> [mm]M=\IZ[/mm] x~y: [mm]\gdw[/mm] x+2y ist durch 3 teilbar.
>
> Zeige: eine Äquivalenzrelation liegt vor und bestimme die
> Quotientenmenge M/~.
> Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen?
>
> Also ich habe eine Menge der ganzen Zahlen. x ist
> äquivalent zu y, wenn x+2y durch 3 teilbar ist.
>
> Also muss ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
> nachweisen.
Ja, natürlich.
Reflexivität : Zeige, dass x ~ x immer richtig ist.
Symmetrie : Zeige : Wenn x+2y ein Vielfaches von 3 ist, dann ist y+2x auch ein Vielfaches von 3. (Beispiel : 17 + 2*11 = 39 und 11 + 2*17 = 45 ist beides durch 3 teilbar, also 17~11 und 11~17 gilt gleichzeitig.)
Transitivität : Zeige : Wenn ... und ... dann ...
> Allerdings weiß ich nicht, wie man das bei
> x+2y zeigen soll. Ich kannte das bisher nur bei
> Mengenelementen.
>
> Die Quotientenmenge entsteht, wenn man die äquivalenten
> Elemente „gleich macht“.
>
ok. Überlege dir, welche Zahlen y alle zu x=0 äquivalent sind (das ist deine erste Äquivalenzklasse), dann, welche Zahlen alle zu x=1 äauivalent sind (deine zweite Äqu.k.), dann ... , bis du alle Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] untergebracht hast.
> leider finde ich keinen richtigen Anfang!
>
>
> Gruß, Mathegirl
Gruß Sax.
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Ich habe keine Ahnung wie ich hier die äquivalenz zeigen soll. wie refelxivität und so weiter definiert ist, das ist mir bekannt! aber wie macht man das mit x+2y?? ich kenne das bisher nur mit mengen, wie z.B. (a,a),(b,b) usw..
Mathegirl
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> Ich habe keine Ahnung wie ich hier die äquivalenz zeigen
> soll. wie refelxivität und so weiter definiert ist, das
> ist mir bekannt! aber wie macht man das mit x+2y?? ich
> kenne das bisher nur mit mengen, wie z.B. (a,a),(b,b)
> usw..
Hallo,
(a,a), (b,b) sind keine Mengen, sondern Zweitupel bzw. Paare.
Der einzige Unterschied zu dem, was Du kennst scheint mir doch zu sein, daß hier steht
[mm] "x\sim [/mm] y [mm] \quad :\gdw\quad [/mm] x+2y ist durch 3 teilbar"
statt
[mm] (x,y)\in [/mm] R [mm] \quad :\gdw\quad [/mm] x+2y ist durch 3 teilbar
Willst Du prüfen, ob [mm] x\sim [/mm] x für alle [mm] x\in \IZ [/mm] richtig ist, mußt Du halt schauen, ob x+2x für alle x durch 3 teilbar ist.
Und? Ist's das?
Was hast Du damit gezeigt?
Was mußt Du für die Reflexivität zeigen?
Gruß v. Angela
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also x~x gilt in diesem Fall, da alle ganzen Zahlen, alle [mm] \in\IZ [/mm] x+2y sich durch 3 teilen lässt.
bei x~y folgt y~x müssen sich x und y vertauschen lassen, sodass x+2y immernoch durch 3 teilbar ist! (symmetrie)
Transitivität stellt jedoch jetzt ein Problem dar.
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> also x~x gilt in diesem Fall,
Hallo,
das stimmt.
> da alle ganzen Zahlen, alle
> [mm]\in\IZ[/mm] x+2y sich durch 3 teilen lässt.
Das wäre mir neu.
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> bei x~y folgt y~x müssen sich x und y vertauschen lassen,
> sodass x+2y immernoch durch 3 teilbar ist! (symmetrie)
???
Wenn [mm] x\sim [/mm] y, dann ist x+2y durch 3 teilbar, und Du mußt entscheiden, in diesem Fall auch [mm] y\sim [/mm] x gilt. Was mußt Du hierfür untersuchen?
>
> Transitivität stellt jedoch jetzt ein Problem dar.
Die Transitivität ist nur eins Deiner Probleme - wir können sie getrost noch zurückstellen, bis Reflexivität und Symmetrie kla sind.
Wir wollen ja möglichst wenig Chaos erzeugen.
Gruß v. Angela
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