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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 19.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Relation [mm]\cong [/mm] auf einer Menge A mit den folgenden beiden Eigenschaften:
für alle [mm] a \in A [/mm]: [mm]a \cong a [/mm].
für alle [mm] a, b, c \in A [/mm]: wenn [mm] a \cong b [/mm] und [mm] c \cong b[/mm], dann gilt auch [mm] a \cong c [/mm].
Beweisen oder widerlegen Sie, dass [mm] \cong [/mm] eine Äquivalenzrelation ist. |
Ich muss also prüfen, ob die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Die Reflexivität folgt direkt aus der Definition.
Zur Transitivität.
Es müsste gelten:
für alle [mm] a, b, c \in A [/mm]: wenn [mm] a \cong b [/mm] und [mm] b \cong c[/mm], dann gilt auch [mm] a \cong c [/mm]
Dies würde hier allerdings nur gelten, wenn die Relation symmetrisch ist, also [mm] b \cong c[/mm] [mm]\gdw [/mm] [mm] c \cong b[/mm] gilt.
Hierüber kann ich aber keine Aussage treffen.
Also ist die Relation KEINE Äquivalenzrelation.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 So 19.12.2010 | | Autor: | iks |
> Gegeben sei eine Relation [mm]\cong[/mm] auf einer Menge A mit den
> folgenden beiden Eigenschaften:
> für alle [mm]a \in A [/mm]: [mm]a \cong a [/mm].
> für alle [mm]a, b, c \in A [/mm]:
> wenn [mm]a \cong b[/mm] und [mm]c \cong b[/mm], dann gilt auch [mm]a \cong c [/mm].
>
> Beweisen oder widerlegen Sie, dass [mm]\cong[/mm] eine
> Äquivalenzrelation ist.
> Ich muss also prüfen, ob die Relation reflexiv,
> symmetrisch und transitiv ist.
>
> Die Reflexivität folgt direkt aus der Definition.
>
> Zur Transitivität.
> Es müsste gelten:
> für alle [mm]a, b, c \in A [/mm]: wenn [mm]a \cong b[/mm] und [mm]b \cong c[/mm],
> dann gilt auch [mm]a \cong c[/mm]
> Dies würde hier allerdings nur
> gelten, wenn die Relation symmetrisch ist, also [mm]b \cong c[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]c \cong b[/mm] gilt.
> Hierüber kann ich aber keine Aussage treffen.
>
Hi ella87!
Hier würde ich wiedersprechen.
[mm] $a\cong [/mm] b$ und [mm] $c\cong [/mm] b$ [mm] $\gdw$ $c\cong [/mm] b$ und [mm] $a\cong [/mm] b$
oder?
mFg iks
> Also ist die Relation KEINE Äquivalenzrelation.
> Stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 So 19.12.2010 | | Autor: | ella87 |
>
> Hi ella87!
>
> Hier würde ich wiedersprechen.
>
> [mm]a\cong b[/mm] und [mm]c\cong b[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]c\cong b[/mm] und [mm]a\cong b[/mm]
>
> oder?
>
> mFg iks
>
ja, ich denke schon. aber trotzdem komm ich so nicht auch die Transitivität und die Symmetrie oder?
Irgendwie weiß ich leider nicht, was du damit aussagen willst...
oder kann man aus der 2. Bedingung schließen, weil das ja "fast" die Transitivität ist schließen kann, dass die Relation auch symmetrisch ist und dann hat man ja auch die Transitivität da stehen...???
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Huhu,
Tip: Setze mal a=b in der zweiten Bedingung, dann hast du alles, was du brauchst 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mo 20.12.2010 | | Autor: | ella87 |
aaaah! das ist ja klasse!
dann hab ich da stehen:
für alle [mm] a=b , b, c \in A [/mm]: wenn [mm] a=b \cong b [/mm] und [mm] c \cong b [/mm], dann gilt auch [mm] a=b \cong c [/mm].
[mm] a=b \cong b [/mm] also [mm] b \cong b [/mm] gilt nach der ersten bedingung, also hab ich die Symmetrie da stehen und dann kann ich aus der 2. Bedingung die Transitivität machen.
das stimmt doch so oder?
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Huhu,
> aaaah! das ist ja klasse!
> dann hab ich da stehen:
>
> für alle [mm]a=b , b, c \in A [/mm]: wenn [mm]a=b \cong b[/mm] und [mm]c \cong b [/mm],
> dann gilt auch [mm]a=b \cong c [/mm].
>
> [mm]a=b \cong b[/mm] also [mm]b \cong b[/mm] gilt nach der ersten bedingung,
> also hab ich die Symmetrie da stehen und dann kann ich aus
> der 2. Bedingung die Transitivität machen.
> das stimmt doch so oder?
Jap. Nur ist die Schreibweise [mm] $a=b\cong [/mm] b$ eher verwirrend 
Schreib zu Anfang: Betrachten nun den Fall $a=b$....
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Mo 20.12.2010 | | Autor: | ella87 |
DANKE!
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