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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Für rationale Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] sei [mm] $E_2$ [/mm] definiert als:
[mm] $((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}})\in E_2\Leftrightarrow [/mm]
[mm] (y_n)_{n\in\mathbb{N}}-(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{Nullfolge}$ [/mm] |
Ich schreibe im folgenden mal für [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] nur [mm] $x_n$ [/mm] bzw. [mm] $y_n$.
[/mm]
Ich muss ja wieder drei Dinge zeigen:
1) Reflexivität
2) Symmetrie
3) Transitivität
zu 1)
[mm] $(x_n,x_n)\in E_2\Leftrightarrow x_n-x_n$ [/mm] Nullfolge.
Das ist offensichtlich erfüllt.
zu 2)
Sei [mm] $(x_n,y_n)\in E_2$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $(y_n,x_n)\in E_2$
[/mm]
[mm] $(x_n,y_n)\in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n\text{Nullfolge}$
[/mm]
Das dann auch [mm] $x_n-y_n$ [/mm] eine Nullfolge ist, ist mir klar. Sie würde sich halt nur "umgekehrt" an die Null annähern.
Wie könnte ich dies jedoch formal aufschreiben?
[mm] $y_n-x_n=0\Leftrightarrow -(y_n-x_n)=0
[/mm]
[mm] x_n-y_n=0\Leftrightarrow (y_n,x_n)\in E_2$
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, weil wir in dieser Vorlesung noch nicht die Limesschreibweise benutzt haben und diese "Gleichheit" ja eigentlich nicht gilt, sondern nur für n gegen unendlich...
zu 3)
Sei [mm] $(x_n, y_n)\in E_2 [/mm] und [mm] (y_n, z_n)\in E_2$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $(x_n,z_n)\in E_2$
[/mm]
[mm] $(x_n, y_n)\in E_2 [/mm] und [mm] (y_n, z_n)\in E_2\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $y_n-x_n$ [/mm] Nullfolge
[mm] $z_n-y_n$ [/mm] Nullfolge
Wenn ich beides addiere (auch hier bin ich unsicher ob ich das eigentlich darf. Die Grenzwertsätze sind natürlich bekannt, aber nicht in dieser Vorlesung)
[mm] $y_n-x_n+z_n-y_n$ [/mm] Nullfolge
[mm] $z_n-x_n Nullfolge\Leftrightarrow (x_n,z_n)\in E_2$
[/mm]
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für rationale Folgen
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] sei [mm]E_2[/mm]
> definiert als:
>
> [mm]$((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}})\in E_2\Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm](y_n)_{n\in\mathbb{N}}-(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{Nullfolge}$[/mm]
>
> Ich schreibe im folgenden mal für
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] nur [mm]x_n[/mm] bzw.
> [mm]y_n[/mm].
>
> Ich muss ja wieder drei Dinge zeigen:
>
> 1) Reflexivität
> 2) Symmetrie
> 3) Transitivität
>
> zu 1)
>
> [mm](x_n,x_n)\in E_2\Leftrightarrow x_n-x_n[/mm] Nullfolge.
>
> Das ist offensichtlich erfüllt.
>
> zu 2)
>
> Sei [mm](x_n,y_n)\in E_2[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm](y_n,x_n)\in E_2[/mm]
>
> [mm](x_n,y_n)\in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n\text{Nullfolge}[/mm]
>
> Das dann auch [mm]x_n-y_n[/mm] eine Nullfolge ist, ist mir klar. Sie
> würde sich halt nur "umgekehrt" an die Null annähern.
> Wie könnte ich dies jedoch formal aufschreiben?
>
> [mm]$y_n-x_n=0\Leftrightarrow -(y_n-x_n)=0[/mm]
>
> [mm]x_n-y_n=0\Leftrightarrow (y_n,x_n)\in E_2$[/mm]
>
> Ich bin mir nicht sicher, weil wir in dieser Vorlesung noch
> nicht die Limesschreibweise benutzt haben und diese
> "Gleichheit" ja eigentlich nicht gilt, sondern nur für n
> gegen unendlich...
So ist es.
[mm] (x_n-y_n) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (|x_n-y_n|) [/mm] ist eine Nullfolge.
Nun benutze [mm] |x_n-y_n|=|y_n-x_n|
[/mm]
>
> zu 3)
>
> Sei [mm](x_n, y_n)\in E_2 und (y_n, z_n)\in E_2[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm](x_n,z_n)\in E_2[/mm]
>
> [mm](x_n, y_n)\in E_2 und (y_n, z_n)\in E_2\Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm]y_n-x_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]z_n-y_n[/mm] Nullfolge
>
> Wenn ich beides addiere (auch hier bin ich unsicher ob ich
> das eigentlich darf. Die Grenzwertsätze sind natürlich
> bekannt, aber nicht in dieser Vorlesung)
Dass die Summe zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist brauchst Du.
>
> [mm]y_n-x_n+z_n-y_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]z_n-x_n Nullfolge\Leftrightarrow (x_n,z_n)\in E_2[/mm]
O.K.
FRED
>
> Vielen Dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, ich kann ja einfach den Betrag nehmen.
Vielen Dank für die Kontrolle.
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