Äquivalenzrelation Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mo 02.01.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Es sei [mm] \mathit{K} [/mm] ein Körper. Für fest gewählte [mm] \mathit{m,n \in \IN} [/mm] definieren wir eine Relation [mm] \sim [/mm] auf [mm] \mathit{K^m ^\times ^n} [/mm] via [mm] \mathit{A \sim B} \gdw [/mm] es gibt invertierbare Matrizen [mm] \mathit{P \in K^m ^\times ^m} [/mm] und [mm] \mathit{Q \in K^n ^\times ^n} [/mm] mit [mm] \mathit{PAQ = B}.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ein frohes Neues Jahr wünsche ich allen.
Ich brauche eure Hilfe.
Ich weiss, dass Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Also es ist zu zeigen:
Reflexivität: [mm] \mathit{A \sim A} \gdw \mathit{PAQ = A}
[/mm]
Symmetrie: [mm] \mathit{A \sim B \gdw PAQ = B \Rightarrow PBQ = A \gdw B \sim A}
[/mm]
Transitivität: [mm] \mathit{A \sim B \wedge B \sim C \Rightarrow A \sim C \gdw PAQ = C}
[/mm]
Wie beweise ich aber das?
Danke im Voraus
mfG Gosch
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> Es sei [mm]\mathit{K}[/mm] ein Körper. Für fest gewählte [mm]\mathit{m,n \in \IN}[/mm]
> definieren wir eine Relation [mm]\sim[/mm] auf [mm]\mathit{K^m ^\times ^n}[/mm]
> via [mm]\mathit{A \sim B} \gdw[/mm] es gibt invertierbare Matrizen
> [mm]\mathit{P \in K^m ^\times ^m}[/mm] und [mm]\mathit{Q \in K^n ^\times ^n}[/mm]
> mit [mm]\mathit{PAQ = B}.[/mm]
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> Zeige, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ein frohes Neues Jahr wünsche ich allen.
>
> Ich brauche eure Hilfe.
> Ich weiss, dass Äquivalenzrelation ist eine Relation, die
> reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Also es ist zu
> zeigen:
> Reflexivität: [mm]\mathit{A \sim A} \gdw \mathit{PAQ = A}[/mm]
>
> Symmetrie: [mm]\mathit{A \sim B \gdw PAQ = B \Rightarrow PBQ = A \gdw B \sim A}[/mm]
>
> Transitivität: [mm]\mathit{A \sim B \wedge B \sim C \Rightarrow A \sim C \gdw PAQ = C}[/mm]
>
> Wie beweise ich aber das?
>
> Danke im Voraus
> mfG Gosch
Hallo.
Wichtig ist: Jeweils ist zu zeigen, daß es solche Matrizen P,Q gibt, es reicht also, welche anzugeben.
Zur Reflexivität:
Seien [mm] $P=1_{m\times m}$, $Q=1_{n\times n}$ [/mm] die Einheitsmatrizen in [mm] $K^{m\times m}$ [/mm] bzw. [mm] $K^{n\times n}$.
[/mm]
Dann sind $P,Q$ invertierbar und es ist für [mm] $A\in K^{m\times n}$
[/mm]
[mm] $PAQ=1_{m\times m}\cdot A\cdot 1_{n\times n}=A\cdot 1_{n\times n}=A \Rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] A$.
Zur Symmetrie:
Sei $A [mm] \sim [/mm] B$, d.h. es existieren [mm] $P\in K^{m\times m}$, $Q\in K^{n\times n}$ [/mm] mit $PAQ=B$ dergestalt, daß auch [mm] $P^{-1}\in K^{m\times m}$, $Q^{-1}\in K^{n\times n}$. [/mm] Das wiederum bedeutet
[mm] $A=P^{-1}BQ^{-1}$, [/mm] aber auch [mm] $P^{-1}$ [/mm] und [mm] $Q^{-1}$ [/mm] sind invertierbar, und damit gilt [mm] $B\sim [/mm] A$.
Zur Transitivität:
Seien [mm] $A\sim [/mm] B$, $B [mm] \sim [/mm] C$ mit $A=PBQ$, $B=RCS$.
Dann ist $A=PBQ=PRCSQ$, also auch $A [mm] \sim [/mm] C$.
(hier mußt Du Dir noch überlegen, warum auch $PR$ und $SQ$ invertierbare Matrizen der passenden Größe sind)
Falls Du das soweit nachvollzogen hast, hab ich noch eine Preisfrage für Dich  : um den Beweis zu verkürzen bzw. mir Schreibarbeit zu ersparen, ging an einer Stelle bereits die vorher gezeigte Symmetrie ein. Wo?
Hoffe, ich konnte etwas weiterhelfen,
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 02.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo Christian,
erstmal Danke für deine Antwort,
in diesem Moment stimme ich leider nicht zu:
Zur Transitivität:
Seien [mm] \mathit{A \sim B, B \sim C} [/mm] , mit [mm] \mathit{A = PBQ , B = RCS},
[/mm]
sollte es hier nicht [mm] \mathit{A = P^{-1}BQ^{-1}} [/mm] und [mm] \mathit{B = R^{-1}CS^{-1}} [/mm] stehen?
Gosch
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Hallo :)
Du hast (ohne es zu wissen ) meine Zusatzfrage beantwortet.
Ich habe da bereits die Symmetrie eingesetzt.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Di 03.01.2006 | | Autor: | gosch |
Ja, ist doch klar, erst später habe ich das gesehen.
Danke noch mal, Christian
schöne Grüße
Gosch
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