Äquivalenzrelation, Untergrupp < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 10.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe und M [mm] \subseteq [/mm] G , M [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Relation
a ~ b : <=> a [mm] b^{-1} \in [/mm] M
genau dann eine Äquivalenzrelation auf G ist wenn M Untergruppe von G ist. |
<= klar
=>
Abgeschlossenheit unter Imversen:
M [mm] \not= \emptyset., \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M so dass a =x * [mm] y^{-1}
[/mm]
Aus symmetrieeigenschaft ( x ~ y => y ~x ) folgt
y* [mm] x^{-1} [/mm] = (x [mm] y^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}
[/mm]
=>da y* [mm] x^{-1} \in [/mm] M ist auch die rechte seite [mm] a^{-1} \in [/mm] M
Abgeschlossenheit unter der Veknüpfung
ZZ.: Sei a [mm] \in [/mm] M, b [mm] \in [/mm] M => a b [mm] \in [/mm] M
a= x [mm] y^{-1}
[/mm]
b= q [mm] w^{-1}
[/mm]
ab = x [mm] y^{-1} [/mm] q [mm] w^{-1}
[/mm]
Nun weiß ich nicht weiter.Vlt habt ihr ideen?
Hab schon mit der Transitivität herumprobiert..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Sa 10.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> =>
> Abgeschlossenheit unter Imversen:
> M [mm]\not= \emptyset., \exists[/mm] a [mm]\in[/mm] M so dass a =x * [mm]y^{-1}[/mm]
Wo kommen x und y her?
Du musst für jedes [mm] $a\in [/mm] M$ zeigen, dass auch [mm] $a^{-1}\in [/mm] M$ gilt, nicht nur für ein spezielles.
Jedes [mm] $a\in [/mm] M$ lässt sich darstellen als [mm] $a=a*e^{-1}$, [/mm] wobei e das neutrale Element von G sei.
Hilft dir das weiter?
> Abgeschlossenheit unter der Veknüpfung
> ZZ.: Sei a [mm]\in[/mm] M, b [mm]\in[/mm] M => a b [mm]\in[/mm] M
> a= x [mm]y^{-1}[/mm]
> b= q [mm]w^{-1}[/mm]
> ab = x [mm]y^{-1}[/mm] q [mm]w^{-1}[/mm]
Wo kommen x,y,q und w her?
> Hab schon mit der Transitivität herumprobiert..
Gute Idee!
Es gilt [mm] $a\sim e\sim b^{-1}$ [/mm] (warum?), also...
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 So 11.11.2012 | | Autor: | sissile |
Danke ;)
Viele liebe Grüße
vlt. kennst du dich ja auch bei Homomorphismen aus ;)
https://matheraum.de/read?t=925632
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