Äquivalenzrelation/Äquivalenzk < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ziel ist es festzustellen, ob die Relationen auf X reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind. Zudem sollen Aquivalenzklassen angegeben werden.
a) X = [mm] \IZ [/mm] und x~y [mm] \gdw [/mm] x - y gerade.
b) X = [mm] \IZ [/mm] und x~y [mm] \gdw [/mm] x - y ungerade.
c) X = [mm] \IR [/mm] und x~y [mm] \gdw [/mm] xy [mm] \not= [/mm] 0.
d) X = [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] und [mm] (x_1,y_1)~(x_2,y_2) \gdw x_1 [/mm] = [mm] x_2.
[/mm]
e) X = [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] und [mm] (x_1,y_1)~(x_2,y_2) \gdw x_1 y_1 [/mm] = [mm] x_2 y_2.
[/mm]
f) X = [mm] \IR [/mm] und x~y [mm] \gdw [/mm] x - y [mm] \IQ.
[/mm]
g) X = [mm] \IZ [/mm] und x~y [mm] \gdw [/mm] 5|(x+3y).
h) X = [mm] \IZ [/mm] und x~y [mm] \gdw [/mm] Int(x) = Int(y), wobei Int(x) die größte ganze Zahl mit Int [mm] (x)\le [/mm] x ist.
i) X = [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] und (a,b) ~ (c,d) [mm] \gdw [/mm] (a-c)(b-d) = 0.
j) X = [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] und (a,b) ~ (c,d) [mm] \gdw [/mm] (a-d)(b-c) = 0. |
Hallo,
ich bemühe mich gerade darum die Aufgaben a - j zu lösen. da es dazu leider weder eine Lösung noch einen Lösungsweg gibt wäre es sehr Hilfreich, wenn jemand über meine Lösungen schauen könnte.
Den Lösungsweg gebe ich mal nicht mir an, um mir etwas Schreibarbeit zu ersparen.
Die Äquivalenzklassen habe ich ersteinmal ausgespart, da ich da sehr unsicher bin. Ich versuche mich daran, sobald ich mir über reflexiv, symmetrisch oder transitiv im klaren bin.
a) Äquivalenzrelation Hier habe ich mal die Klassen mit [x]=x+d definiert, war aber nur ein Versuch.
b) Nicht reflexiv/symmetrisch/nicht transitiv
c) Nicht reflexiv/ symmetrisch/transitiv
d) Äquivalenzrelation
e) Äquivalenzrelation
f) Äquivalenzrelation
g) Weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv
h) Kann ich nicht lösen, da mir nicht bekannt ist, was "Int" bedeutet.
Hier wäre ich für Hinweise dankbar.
i)+j) Hier bin ich mir sicher einen fundamentalen Fehler zu machen.
Wenn (a-c)(b-d) = 0 bzw. (a-d)(b-c)=0 muss doch eine der Divisionen in Klammern gleich Null sein, und damit kann die Relation niemals für den gesammten Zahlenbereich gelten, da dies nur geschieht, wenn a=c bzw. b=d und für (j) a=d bzw. b=c.
Ich hoffe ich habe mich jetzt nicht zu verworren ausgedrückt.
Wäre super wenn jemand Zeit findet das Ganze zu kontrollieren und mir bei den letzten drei Aufgaben weiterhelfen würde.
Liebe Grüße und Danke im voraus
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| Aufgabe | | siehe (h), (i), (j) |
Danke für deine Hilfe.
Also (i) und (j) hab ich jetztmal bearbeitet und bin zu dem Schluss gekommen, dass beide weder Reflexiv noch symmetrisch oder transitiv sind.
Ich muss zugeben, dass ich auch mit der Erläuterung zur Arbeitsanweisung (h) immer noch nicht so ganz verstehe.
Die Abrundung zur nächsten ganzen Zahl mit dem Beispiel Int(1,2)=1 ist mir unklar, da ja vorgegeben ist, dass X = [mm] \IZ. [/mm]
Dürfte dann Int(1,2) nicht unmöglich sein, da wir ja nur mit ganzen Zahlen arbeiten dürfen? Dann wäre die Arbeitsanweisung aber Unsinn, da ich dann ja nicht auf eine ganze Zahl abrunden kann?
Würde mich freuen, wenn sich nocheinmal jemand findet um mir einen Denkanstoß zu geben.
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Hallo,
> Also (i) und (j) hab ich jetztmal bearbeitet und bin zu dem
> Schluss gekommen, dass beide weder Reflexiv noch
> symmetrisch oder transitiv sind.
>
Das stimmt nicht!
Relation i) ist reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv.
Relation j) ist nicht reflexiv, jedoch symmetrisch, aber auch wieder nicht transitiv.
> Ich muss zugeben, dass ich auch mit der Erläuterung zur
> Arbeitsanweisung (h) immer noch nicht so ganz verstehe.
> Die Abrundung zur nächsten ganzen Zahl mit dem Beispiel
> Int(1,2)=1 ist mir unklar, da ja vorgegeben ist, dass X =
> [mm]\IZ.[/mm]
> Dürfte dann Int(1,2) nicht unmöglich sein, da wir ja nur
> mit ganzen Zahlen arbeiten dürfen? Dann wäre die
> Arbeitsanweisung aber Unsinn, da ich dann ja nicht auf eine
> ganze Zahl abrunden kann?
Das sehe ich genau so wie du. Für ganze Zahlen läuft das auf die Gleichheit hinaus, von der man im Rahmen einer solchen Aufgabe sicherlich annehmen darf, dass sie eine Äquivalenzrelation ist (sie ist ja sozusagen das Urmodell einer Äquivalenzrelation).
Dass du dich bei der Grundmenge der h) verlesen hast, wäre die einzig mögliche Erklärung, um der Aufgabe einen Sinn zu geben.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:00 Fr 27.01.2017 | | Autor: | Windbeutel |
| Aufgabe | i) X = $ [mm] \IR [/mm] $ x $ [mm] \IR [/mm] $ und (a,b) ~ (c,d) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-c)(b-d) = 0.
j) X = $ [mm] \IR [/mm] $ x $ [mm] \IR [/mm] $ und (a,b) ~ (c,d) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-d)(b-c) = 0. |
Danke Dir für deine Rückmeldung.
Ich muss zugebe, dass ich die Angaben zur zu (i) und (j) nicht nachvollziehen kann.
Hier meine Überlegungen zu (i)/(j) kann ich dann evtl. selbst lösen.
i) X = $ [mm] \IR [/mm] $ x $ [mm] \IR [/mm] $ und (a,b) ~ (c,d) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-c)(b-d) = 0.
Reflexivität:
(a,b) sim (a,b) [mm] \gdw [/mm] (a-c)(a-c) = 0.
Dann müsste doch aber a=c, damit die Reflexivität gegeben ist.
Das aber ist doch nicht pauschal für alle a,b,c in [mm] \IR [/mm] gegeben.
Symmetrie:
(c,d) sim (a,b) [mm] \gdw [/mm] (b-d)(a-c)=0.
Ist wahr, wenn (a,b) ~ (c,d) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-c)(b-d) = 0.
Transitivität:
Sei[I]: (a,b) ~ (c,d) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-c)(b-d) = 0 und [II]: (c,d) ~ (e,f) $ [mm] \gdw [/mm] $ (c-e)(d-f) = 0.
Daher muss gelten (a,b)~(e,f) [mm] \gdw [/mm] (a-e)(b-f)=0.
Nun kann aber aus [I] und [II] nicht darauf geschlossen werden, dass (a-e) und/oder (b-f) =0 ist.
Was die Geforderten Äquivalenzklassen angeht, hab ich kaum erfahrung, hier mal meine Vermutung.
a)[x)= x+d, mit d [mm] \in \IZ
[/mm]
d)[x]= (y=x), mit x [mm] \in \IZ
[/mm]
e)[x]= [mm] (x_1 y_1)=(x_2 y_2), [/mm] mit x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
f)[x]= (x-y),mit x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.
Liebe Grüße
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Hallo,
- aus irgendeinem Grund kann ich gerade nicht zitieren, ich versuche mal, das manuell zusammenzupuzzeln -
> i)
> X = $ [mm] \IR [/mm] $ x $ [mm] \IR [/mm] $ und (a,b) ~ (c,d) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-c)(b-d) = 0.
> Reflexivität:
> (a,b) sim (a,b) $ [mm] \gdw [/mm] $ (a-c)(a-c) = 0.
> Dann müsste doch aber a=c, damit die Reflexivität gegeben ist.
> Das aber ist doch nicht pauschal für alle a,b,c in $ [mm] \IR [/mm] $ gegeben.
Mit der Definition aus i) folgt
[mm] (a,b)\sim{(a;b)} \gdw [/mm] (a-a)*(b-b)=0
Und das ist immer gegeben, also haben wir Reflexivität.
Die Symmetrie hast du hier ja offensichtlich jetzt selbst gesehen, sie folgt ganz einfach aus der Kommutativität der Multiplikation.
Auch das Nichtvorhandensein der Transitivität hast du richtig begründet.
> Was die Geforderten Äquivalenzklassen angeht, hab ich kaum erfahrung, hier mal meine Vermutung.
> a)[x)= x+d, mit d $ [mm] \in \IZ [/mm] $
Nein, das geht hier viel präziser. Was muss für auf jeden Fall x,y gelten, damit sie in der selben Äquivalenzklasse liegen?
> d)[x]= (y=x), mit x $ [mm] \in \IZ [/mm] $
Das verstehe ich nicht. Versuche hier, dir die Äquivalenzklassen geometrisch in kartesichen Koordinaten vorzustellen.
> e)[x]= $ [mm] (x_1 y_1)=(x_2 y_2), [/mm] $ mit x,y $ [mm] \in \IZ [/mm] $
Auch das geht präziser: alle zusammengehörenden Teiler einer bestimmten ganzen Zahl k bilden jeweils zusammen eine Äquivalenzklasse.
> f)[x]= (x-y),mit x,y $ [mm] \in \IR. [/mm] $
Das ergibt keinen Sinn, aber hier muss ich zunächst die Segel streichen (ich sehe momentan überhaupt nicht, wie man hier allgemein Äquivalenzklassen formulieren könnte, aber vielleicht übersehe ich etwas. Ich stelle die Frage auf 'teilweise beantwortet').
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | Reflexifität (j)
Äquivalenzklassen (a),(d),(e),(f) |
So,
ich habe das Wochenende darüber nachgedacht, bin aber nicht wirklich zufrieden mit meinem Ergebnissen.
Zuerst ist es mir einfach nicht gelungen, das nicht Vorhandensein der Reflexivität von (j) aufzuzeigen. Ich hatte gehofft, ich könnte aus (i) entsprechende Erkentnisse ziehen, aber anscheinen fehlt es mir da an Durchsicht.
Ich muss doch zeigen, dass sich das geordnete Paar (a,b) auf sich selbst abbildet, also
(a,b) ~(a,b)
Müsste das dann aber nicht wie in (i) (a,b) ~(a,b) [mm] \gdw [/mm] (a-a)(b-b) =0 die korrekte Formel sein, welche ich dann wiederlegen muss, da Reflexivität nicht gegeben ist? Nun kann hier nicht falsch sein, was in (i) wahr ist, ich habe also einen Fehlöer in der Aufstellung gemacht.
Die Aufgaben (i)(j) lassen mich das erste mal auf geordneten Paaren im Bezug auf Äquivalenzrelationen treffen. Evtl. verstehe ich da irgendetwas grundlegendes nicht.
Zu den Äquivalenzklassen habe ich mir folgende Gedanken gemacht.
a)[x]={m,x,y [mm] \in \IZ [/mm] | x-y = 2m}
d)[x]={n,(x,y) [mm] \in \IZ [/mm] und m=0|x=m*y+n}
sieht sehr unbeholfen aus. Ich wollte zeigen,dass beide geordneten Paare auf einer Paralellen zur y-Achse liegen.
e)[x]={k,x,y [mm] \in \IZ [/mm] | [mm] k=(x_1,y_1)=(x_2,y_2)}
[/mm]
Soll zeigen, dass die geordneten Paare den selben Punkt im kartesischen System beschreiben.
f) Hier bin ich, trotz diverser Versuche, auf keine neuer Erkentniss gestoßen. Ich wüsste nicht, wie ich die Äquivalenzklassen hier genauer beschreiben soll.
Wie immer bin ich für jede Hilfe dankbar.
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Hallo,
vorneweg ein Rat: man sollte in der Mathematik nicht immer alles sofort formal bzw. symbolisch hinschreiben wollen. Erst einmal kommt die Sprache zur Geltung, mit deren Hilfe denkt man und mit ihr lassen sich Sachverhalte manchmal viel einfacher ausdrücken.
> Reflexifität (j)
>
> Äquivalenzklassen (a),(d),(e),(f)
> So,
> ich habe das Wochenende darüber nachgedacht, bin aber
> nicht wirklich zufrieden mit meinem Ergebnissen.
>
> Zuerst ist es mir einfach nicht gelungen, das nicht
> Vorhandensein der Reflexivität von (j) aufzuzeigen. Ich
> hatte gehofft, ich könnte aus (i) entsprechende
> Erkentnisse ziehen, aber anscheinen fehlt es mir da an
> Durchsicht.
> Ich muss doch zeigen, dass sich das geordnete Paar (a,b)
> auf sich selbst abbildet, also
> (a,b) ~(a,b)
> Müsste das dann aber nicht wie in (i) (a,b) ~(a,b) [mm] \gdw
[/mm]
> (a-a)(b-b) =0 die korrekte Formel sein, welche ich dann
> wiederlegen muss, da Reflexivität nicht gegeben ist? Nun
> kann hier nicht falsch sein, was in (i) wahr ist, ich habe
> also einen Fehlöer in der Aufstellung gemacht.
Bei der (j) habe ich dir das doch aufgeschrieben. Du musst hier beachten, welche Differenzen in den Klammern stehen, dann das zweite Zahlenpaar durch das erste ersetzen, also durch (a;b) und dann siehst du sofort:
[mm] (a;b)\sim{(a;b)}\gdw(a-b)*(b-a)=0
[/mm]
Und das stimmt eben nur für a=b, also ist (j) nicht reflexiv.
> Die Aufgaben (i)(j) lassen mich das erste mal auf
> geordneten Paaren im Bezug auf Äquivalenzrelationen
> treffen. Evtl. verstehe ich da irgendetwas grundlegendes
> nicht.
>
> Zu den Äquivalenzklassen habe ich mir folgende Gedanken
> gemacht.
> a)[x]={m,x,y [mm] \in \IZ [/mm] | x-y = 2m}
Viel zu kompliziert. Wenn die Differenz zweier ganzer Zahlen gerade ist, dann sind entweder beide Zahlen gerade oder beide ungerade. Also gibt es bei (a) genau zwei Äquivalenzklassen: die geraden und die ungeraden Zahlen.
> d)[x]={n,(x,y) [mm] \in \IZ [/mm] und m=0|x=m*y+n}
> sieht sehr unbeholfen aus. Ich wollte zeigen,dass beide
> geordneten Paare auf einer Paralellen zur y-Achse liegen.
Ja, alle Paare mit gleiche x bilden jeweils eine Äquivalenzklasse.
Man könnte sie m.M. nach so schreiben:
[mm] \left [ x_0 \right ]= \left \{ (x,y) \in \IZ^2|x=x_0 \right \}[/mm]
> e)[x]={k,x,y [mm] \in \IZ\ [/mm] |\ [mm] k=(x_1,y_1)=(x_2,y_2)}
[/mm]
> Soll zeigen, dass die geordneten Paare den selben Punkt im
> kartesischen System beschreiben.
Wie gesagt: da geht es um Teiler von ganzen Zahlen. Bezüglich der Zahl 120 liegen bspw. die Paare (2;60) und (3;40) in derselben Äquivalenzklasse (eben in der zur Zahl 120 gehörigen).
> f) Hier bin ich, trotz diverser Versuche, auf keine neuer
> Erkentniss gestoßen. Ich wüsste nicht, wie ich die
> Äquivalenzklassen hier genauer beschreiben soll.
Wie ich schon weiter oben schrieb: bei dieser Aufgabe bin ich auch überfordert. Sie läuft auf die Frage hinaus, ob und wann die Summe bzw. Differenz zweier irrationaler Zahlen rational ist und das ist sehr schwere Materie...
Gruß, Diophant
PS (@Moderation): Kann es sein, dass der Formeleditor gerade Fehlfunktionen (im Zusammenhang mit LaTeX-Leerzeichen) hat?
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Hm ,
so ganz blicke ich da noch nicht durch.
Ich hoffe es gelingt mir mein Problem verständlich zu formulieren.
Was ich nicht verstehe ist, wie ich bei der Reflexivität von (i) und (j) zu den jeweiligen Ergebnissen komme.
Du hast geschrieben
i)(a,b) ~ (a,b) [mm] \gdw [/mm] (a-a)(b-b) =0
j)(a,b) ~ (a,b) [mm] \gdw [/mm] (a-b)(b-a) =0
Also um genau zu sein, verstehe ich nicht, wieso man bei (i) auf (a-a)(b-b) und bei (j) auf (a-b)(b-a) kommt. Da fehlt mir irgendwie der Zugang.
Würde ich (soweit ich es verstehe) das in (i) angewendete Scheme auf (j) anwenden müsste (j) doch auch (a-a)(b-b) lauten. Ich hab versucht es mir im koordinaten System zu erklären, aber es gelingt mir nicht.
Zu (f) habe ich mir, unter Beachtung deines Hinweise, noch einmal Gedanken gemacht.
Ich habe mal einen Beweis formuliert, um zu zeigen, dass die Differenz zweier irrationale Zahlen eine rationale Zahl ergibt.
Mal eine allgemeine Frage zur Notation:
Wenn ich das Prinzip der Äquivalenzklassennotation richtig verstehe nützt mir der formulierte Bewes wenig, wenn ich ihn nicht sehr kompakt darstellen kann.
Wenn es legitim wäre,könnte ich diesen Beweis der Beschreibung der Äquivalenzklassen voranstellen.
So könnte ich diese zwar kompakt formulieren, jedoch wäre er dann auch sehr allgemein ([x]={x,y [mm] \in \IQ \vee x,y\in [/mm] I|x-y [mm] \in \IQ [/mm] }).
Oder sollte eine Beschreibung der Äquivalenzklassen unbedingt für sich stehen können (da bin ich eventuell auf einer Spur)?
Meine Frage bezieht sich hier wirklich nur auf die mögliche allgemeine Notation einer Äquivalenklasse.
Ich danke jede der/die mir weiterhilft im voraus
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Hallo,
ich habe jetzt nicht alle Antworten durchgesehen.
>
> Also um genau zu sein, verstehe ich nicht, wieso man bei
> (i) auf (a-a)(b-b) und bei (j) auf (a-b)(b-a) kommt. Da
> fehlt mir irgendwie der Zugang.
Die Relation $ [mm] \sim_{J} [/mm] $ ist so definiert. Das Symbol $ [mm] \sim [/mm] $ drückt die zugrunde liegende Relation aus und der Index $ J $ soll auf den Aufgabenteil j) hinweisen.
Die Relation aus Aufgabenteil i) war ganz einfach anders definiert. Wenn es dir hilft, versuche doch mal beide Relationen statt mit $a,b$ durch $ [mm] x_1, x_2$ [/mm] aufzuschreiben bzw auszudrücken.
> Würde ich (soweit ich es verstehe) das in (i) angewendete
> Scheme auf (j) anwenden müsste (j) doch auch (a-a)(b-b)
> lauten. Ich hab versucht es mir im koordinaten System zu
> erklären, aber es gelingt mir nicht.
>
> Zu (f) habe ich mir, unter Beachtung deines Hinweise, noch
> einmal Gedanken gemacht.
> Ich habe mal einen Beweis formuliert, um zu zeigen, dass
> die Differenz zweier irrationale Zahlen eine rationale
> Zahl ergibt.
> Mal eine allgemeine Frage zur Notation:
> Wenn ich das Prinzip der Äquivalenzklassennotation
> richtig verstehe nützt mir der formulierte Bewes wenig,
> wenn ich ihn nicht sehr kompakt darstellen kann.
> Wenn es legitim wäre,könnte ich diesen Beweis der
> Beschreibung der Äquivalenzklassen voranstellen.
> So könnte ich diese zwar kompakt formulieren, jedoch
> wäre er dann auch sehr allgemein ($[x]={x,y [mm] \in \IQ \vee x,y\in
[/mm]
> I| x-y [mm] \in \IQ [/mm] }$).
> Oder sollte eine Beschreibung der Äquivalenzklassen
> unbedingt für sich stehen können (da bin ich eventuell
> auf einer Spur)?
> Meine Frage bezieht sich hier wirklich nur auf die
> mögliche allgemeine Notation einer Äquivalenklasse.
>
> Ich danke jede der/die mir weiterhilft im voraus
>
Die Äquivalenzklasse $ [x]$ eines Objekts $ x [mm] \in [/mm] X$ ist die Menge aller Elemente aus $ X$ die (bzgl der Relation) $ [mm] \sim [/mm] $ äquivalent zu $ x $ sind.
Also $ [x] := [mm] \{ y \in X : x \sim y \} \subset [/mm] X$
Bei Aufgabentyp f) ist die Äquivalenzklasse eines zu betrachtenden Objektes $ x $ also die Menge aller $ y [mm] \in [/mm] X = [mm] \IR [/mm] $, für die gilt $ (x-y) [mm] \in \IQ$, [/mm] formal:
$ [x] = [mm] \{ y \in \IR : x-y \in \IQ \}$
[/mm]
LG,
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Do 02.02.2017 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für eure Hilfe.
Besonders der Tipp beide Relationen statt mit a,b durch $ [mm] x_1, x_2 [/mm] $ auszudrücken hat mir sehr weitergeholfen.
Vielen Dank nochmal an alle Beteiligten
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
