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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 25.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
eine kurze Frage zur Äquivalenzrelation.
Kann eine binäre Relation auf zwei unterschiedlichen nichtleeren Mengen $\ A, B $ auch zur Äquivalenzrelation werden?
Ich meine z.B. etwas wie $\ R [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B = [mm] \{(a,b) \in A \times B: (a \in A) \wedge (b \in B) \} [/mm] $.
Ich habe bisher, so glaube ich, die Äquivalenzrelation nur als zweistellige Relation auf einer Menge $\ M $ kennengelernt, also $\ R [mm] \subseteq M\times [/mm] M $.
Würde mich über eine Antwort freuen.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:49 Mo 26.10.2009 | | Autor: | dayscott |
Äquivalenzrelation: Ein Relation auf einer Menge M, die reflexiv
transitiv, und symmetrisch ist.
[mm]$\ R \subseteq A \times B [/mm] erfüllt im Allgemeinen (*) diese 3 Eigenschaften.
Beispiel wäre wenn A die Menge der Studenten ist und B die Menge der Kurse.
(*) soll heisen, dass das Kreuzprodukt das zunächst schon erfüllt, das Kreuzprodukt ist ja die "größte mögliche " Relation. Ansonsten hängt das von der Relation ab, ob sie Äquivalenzklassen bilden kann. (wenn jmd das mathematischer ausdrücken kann, so bitte ich darum)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Mo 26.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo dayscott,
danke für Deine Antwort.
> Äquivalenzrelation: Ein Relation auf einer Menge M, die
> reflexiv
> transitiv, und symmetrisch ist.
Ja, richtig. $\ (M,M,R) $ ist dann die Relation auf M. Hier ist aber $\ R [mm] \subseteq M^2 [/mm] $
>
> [mm]$\ R \subseteq A \times B[/mm] erfüllt im Allgemeinen (*) diese
> 3 Eigenschaften.
>
> Beispiel wäre wenn A die Menge der Studenten ist und B die
> Menge der Kurse.
>
> (*) soll heisen, dass das Kreuzprodukt das zunächst schon
> erfüllt, das Kreuzprodukt ist ja die "größte mögliche
> " Relation. Ansonsten hängt das von der Relation ab, ob
> sie Äquivalenzklassen bilden kann. (wenn jmd das
> mathematischer ausdrücken kann, so bitte ich darum)
Hier hätten wir aber, entgegen der Definition der Äquivalenzrelation $\ (A,B,R) $ mit $ A [mm] \not= [/mm] B $.
Ist es nicht auch so, dass eine Äquivalenzrelation immer Äquivalenzklassen bildet?
Durch die Äquivalenzrelation wird eine Menge $\ M $ doch in paarweise disjunkte Teilmengen $ T $ partitioniert.
Diese $\ T $ sind dann die Äquivalenzklassen der Elemente, die sie enthalten.
Oder nicht?
Viele Grüße
ChopSuey
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> Ist es nicht auch so, dass eine Äquivalenzrelation immer
> Äquivalenzklassen bildet?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:39 Mo 26.10.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
> Äquivalenzrelation: Ein Relation auf einer Menge M, die
> reflexiv
> transitiv, und symmetrisch ist.
>
> [mm]$\ R \subseteq A \times B[/mm] erfüllt im Allgemeinen (*) diese
> 3 Eigenschaften.
>
> Beispiel wäre wenn A die Menge der Studenten ist und B die
> Menge der Kurse.
>
Hallo,
schau Dir die Definition der Äquivalenzrelation an.
Eine Äquivalenzrelation R spielt sich grundsätzlich auf einer Menge M ab, ist also eine Teilmenge von MxM.
Wenn Du Dein Studenten-Kurse Beispiel zu einer Äquivalenzrelation machen willst, wäre die eine Äquivalenzrelation auf M:=AxB,
also eine Teilmenge von (axB)x(AxB).
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> eine kurze Frage zur Äquivalenzrelation.
>
> Kann eine binäre Relation auf zwei unterschiedlichen
> nichtleeren Mengen [mm]\ A, B[/mm] auch zur Äquivalenzrelation
> werden?
>
> Ich meine z.B. etwas wie [mm]\ R \subseteq A \times B = \{(a,b) \in A \times B: (a \in A) \wedge (b \in B) \} [/mm].
>
> Ich habe bisher, so glaube ich, die Äquivalenzrelation nur
> als zweistellige Relation auf einer Menge [mm]\ M[/mm]
> kennengelernt, also [mm]\ R \subseteq M\times M [/mm].
Hallo,
eine Äquivalenzrelation R auf M ist immer eine Teilmenge von MxM.
Aaaaaber: die Menge M kann natürlich die Menge AxB sein.
Dann wäre die Äquivalenzrelation R eine Teilmenge von (AxB)x(AxB).
Äquivalent sind hier keien Elemente von A zu solchen von B, sondern wir haben hier äquivalente Paare.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Di 27.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
tolle Erklärung, vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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