Äquivalenzrelation/klassen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Treden |
Auf [mm] IR^2 [/mm] sei die folgende Äquivalenzrelation definiert:
[mm] (x_1,x_2) [/mm] equiv [mm] (y_1,y_2) [/mm] gdw [mm] (y_1,y_2)=(rx_1,\frac{x_2}{r}) [/mm]
für ein r in IR setminus{0}.
Dazu habe ich nun die folgenden Fragen:
(a) Wie habe ich mir nun die Äqivalenzklassen im [mm] IR^2 [/mm] vorzustellen bzw. wie kann ich diese skizzieren?!
(Theoretisch passt dies doch für unendlich viele Punkte in meinem Koordinatensystem oder nicht?)
(b) Wie skizziere ich dann die folgende Menge (gegeben ist immer noch besagte Äquivalenzrelation):
[mm] X:=IR^2/equiv [/mm] ?
(c) Nun muss ich auch noch die Quotiententopologie auf X mittels der Angabe einer Basis beschreiben. Wie habe ich mir diese Basis vorzustellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 20.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Treden
Im wesentlichen sagt doch die Aequivalenzrelation [mm] $(x_1,x_2)\equiv(y_1,y_2)\Leftrightarrow x_1\cdot x_2=y_1\cdot y_2$ [/mm] mit der Ausnahme der Punkte auf den Koordinatenachsen. Deshalb sind die Aequivalenzklassen die folgenden Mengen [mm] $A_c=\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2: x_1\cdot x_2=c\mbox{ und }c\neq 0\}$, [/mm] dazu kommen noch die drei Mengen [mm] $X_1=\{(x_1,0):x_1\neq 0\}$, $X_2=\{(0,x_2):x_2\neq 0\}$ [/mm] und [mm] $O=\{(0,0)\}$.
[/mm]
b) Skizzieren kann man diese Menge nicht.
c) Wende die Definition der Quotiententopologie an. (Habe keine Lust mich damit zu befassen.)
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Treden |
zu a) Warum kann ich das Tupel als Multiplikation schreiben? Und wo ist das R geblieben?
zu b) Ist das nicht einfach die Menge aller Äquivalenzklassen auf [mm] \IR^2 [/mm] ?
zu c) kannst du mir einen Ansatz geben? Die Definition ist klar, die Beziehung zur gegebenen Äquivalenzrelation jedoch nicht. Wie finde ich eine surjektive Abbildung für die Quotiententopologie?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 21.11.2010 | | Autor: | moudi |
> zu a) Warum kann ich das Tupel als Multiplikation
> schreiben? Und wo ist das R geblieben?
Schau dir doch die Definition an, wenn [mm] $y_1=r x_1$ [/mm] und [mm] $y_2=x_2/r$, [/mm] dann gilt doch [mm] $y_1y_2=x_1 x_2$. [/mm] Ist umgekehrt [mm] $y_1y_2=x_1x_2$ [/mm] und sind weder [mm] y_1 [/mm] noch [mm] x_1 [/mm] gleich 0, dann definiere [mm] $r=y_1/x_1$ [/mm] und es folgt [mm] $y_2=x_2/r$, [/mm] da [mm] $r=y_1/x_1$ [/mm] und [mm] $y_1y_2=x_1x_2$.
[/mm]
Die Spezialfaelle, wo eine der Zahlen 0 ist, muss man gesondert anschauen.
>
> zu b) Ist das nicht einfach die Menge aller
> Äquivalenzklassen auf [mm]\IR^2[/mm] ?
Ja als Menge schon.
>
> zu c) kannst du mir einen Ansatz geben? Die Definition ist
> klar, die Beziehung zur gegebenen Äquivalenzrelation
> jedoch nicht. Wie finde ich eine surjektive Abbildung für
> die Quotiententopologie?
Das ist die Projektion [mm] $\pi:\IR^2\to\IR^2/\sim$, [/mm] die jedem Zahlenpaar die Aequivalenzklasse zuordnet, zu der es gehoert.
mfG Moudi
|
|
|
|
