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| Aufgabe | Sei N={0,1,2,3....} die menge der natürlichen zahlen. Wir nennen zwei Zahlen k, l aus N äquivalent und schreiben k~l, falls sie denselben Rest bei der Division durch 7 ergeben
a) zeigen sie, dass ~eine Äquivalenzrelation ist
b)geben sie ein vollständiges Repräsentantensystem von ~ an, d.h. eine Menge R c N, die genau ein Element aus jeder Äquivalenzklasse von ~enthält |
Hi, da ich ein Anfänger im Bereich der Linearen Algebra bin und ich aus der Vorlesung keinen Nutzen für einen Ansatz ziehen kann hoffe ich dass mir vielleicht einer von euch einen kleinen Tipp geben kann
wie ich zum Beispiel die Symmetrie, die Transitivität und die Reflexivität zeigen kann...
vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Tach
also zu Aufgabe a) Zwei natürliche Zahlen heißen Äquivalent wenn sie beide beim Teilen durch 7 den selben Rest lassen mathematisch gesprochen k~l [mm] \gdw [/mm] k [mm] \equiv [/mm] c mod 7 [mm] \wedge [/mm] l [mm] \equiv [/mm] c mod 7
Reflexiv. k~k denn beide Zahlen( weil sind ja die Selben) lassen bei Teilung durch 7 den Gleichen Rest. k~l [mm] \wedge [/mm] l~k bei Teilung lassen beide den Gleichen Rest also ist die Relation Symetrisch.
Transitivität: Wenn k~l ( Das heißt beide lassen den gleichen Rest bei Teilung durch 7) und l~m, dann ist auch k~m denn denn k lässt den selben rest wie l und m lässt die selben rest wie l also lässt auch k den selben rest wie l. So funktionieren solche Beweise über Relationen eigentlich immer
zu b)
HIer musst du dir überlegen welche Äquivalenzklassen auftreten können. Dann kannst du dir leicht vertreter Suchen. SChau auch mal bei wikipedia.de unter Äquivalenzrelation
Schönen Tach noch
Blasco
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mo 22.10.2007 | | Autor: | cloui |
Hey,
ich hab jetzt mal dieselbe aufgabe gerechnet und hätte nun gerne gewusst ob ich das so schreiben kann.
ich fang mal an:
Um zu zeigen, dass k ~ l eine Äquivalenzrelation definiert, muss man die Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität überprüfen.
Reflexivität:
k, l [mm] \in \IN
[/mm]
k = k daraus folgt k ~ k
Symmetrie:
k = l und l = k, da beide denselben Rest bei der Division durch 7 haben; daraus folgt k ~ l und l ~ k
Transitivität:
k, l, h [mm] \in \IN
[/mm]
wenn k = h und h = l, dann ist auch k = l, darausfolgt k ~ l
damit ist die äquivalenzrelation bewiesen
ist das so richtig, der beweis kommt mir irgendwie zu "einfach" vor
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> Hey,
> ich hab jetzt mal dieselbe aufgabe gerechnet und hätte nun
> gerne gewusst ob ich das so schreiben kann.
> ich fang mal an:
>
> Um zu zeigen, dass k ~ l eine Äquivalenzrelation definiert,
> muss man die Relation auf Reflexivität, Symmetrie und
> Transitivität überprüfen.
>
> Reflexivität:
> k, l [mm]\in \IN[/mm]
> k = k daraus folgt k ~ k
>
> Symmetrie:
> k = l und l = k, da beide denselben Rest bei der Division
> durch 7 haben; daraus folgt k ~ l und l ~ k
>
> Transitivität:
> k, l, h [mm]\in \IN[/mm]
> wenn k = h und h = l, dann ist auch k =
> l, darausfolgt k ~ l
>
> damit ist die äquivalenzrelation bewiesen
>
> ist das so richtig, der beweis kommt mir irgendwie zu
> "einfach" vor
Hallo,
ja, Du machst es Dir etwas zu einfach.
Richtig ist, daß Du Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen mußt.
Aber wenn a und b äquivalent sind, [mm] a\sim [/mm] b, sind sie doch noch lange nicht gleich!!!
Sondern: sie lassen bei der Division durch 7 denselben Rest.
Was bedeutet das für a und b?
Es gibt ein r , [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 6 und [mm] k_a, k_b, [/mm] so daß gilt
[mm] a=k_a*a+r [/mm] und
[mm] b=k_b*b+r.
[/mm]
Mal ein Beispiel: Für 5,12 und 82 gilt [mm] 5\sim [/mm] 12, [mm] 5\sim [/mm] 82, [mm] 12\sim [/mm] 82.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
ok, mit a und b meinst du wohl k und l oder?
und was bei dir ka und kb ist, nenn ich jetzt mal nk und bl
den schritt
K = nk * 7 - r
l = nl * 7 - r
versteh ich schonmal.
wie bringe ich das jetzt rüber, das k ~ l ist?
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> ok, mit a und b meinst du wohl k und l oder?
Hallo,
eigentlich nicht.
Mit a und b meinte ich irgendwelche beliebigen Zahlen, welche äquivalent sind - genau wie bei Dir k und l für beliebige äquivalente Zahlen stehen (sollten).
> und was bei dir ka und kb ist, nenn ich jetzt mal nk und
> bl
> den schritt
> K = nk * 7 + r
> l = nl * 7+ r
> versteh ich schonmal.
> wie bringe ich das jetzt rüber, das k ~ l ist?
Da gibt's nichts "rüberzubringen".
Das ist lt. Definition so.
[mm] k\sim [/mm] l
<==> k und l haben bei Division durch 7 denselben Rest
<==> es gibt [mm] n_k, n_l [/mm] und ein [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 6 mit > k = [mm] n_k [/mm] * 7 + r und l = [mm] n_l [/mm] * 7+ r.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
achso ok, ich hatte das jetzt spezifisch auf die aufgabe bezogen, deshalb hab ich gedacht du meinst a, b k, l :)
damit wäre aber die symmetrie schon bewiesen oder muss ich das noch weiter ausführen? ich weiß nie so genau wie ausführlich ich das beeisen soll, weil die aussage von dir für mich schon so klar is, das ich jetzt denken würde der beweis wäre erbracht
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>
> damit wäre aber die symmetrie schon bewiesen oder muss ich
> das noch weiter ausführen? ich weiß nie so genau wie
> ausführlich ich das beeisen soll, weil die aussage von dir
> für mich schon so klar is, das ich jetzt denken würde der
> beweis wäre erbracht
Im Prinzip ist er das auch.
Gerade am Anfang mußt Du sehr ausführlich beweisen, und jeder Schritt muß begründet werden - nicht mit Gefühlen, sondern mit Definitionen und Sätzen, die dran waren.
Die Symmetrie würde ich so zeigen:
Seien k,l [mm] \in \IN [/mm] .
$ [mm] k\sim [/mm] $ l
<==> k und l haben bei Division durch 7 denselben Rest (nach Def. von [mm] \sim [/mm] )
<==> l und k haben bei Division durch 7 denselben Rest (gesunder Menschenverstand - das würde ich aber nciht schreiben.)
<==> [mm] l\sim [/mm] k (nach Def. von [mm] \sim [/mm] )
Gruß v, Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
ok das leuchtet mir alles ein, vielen dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
nochmal grade ein blöde frage, was hier in dem bsp. als ka und kb bezeichnet wurde, ist e IN und nicht der IR oder? weil eine natürliche zahl dividiert durch eine natürliche wieder eine natürliche gibt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 24.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo cloui,
> nochmal grade ein blöde frage, was hier in dem bsp. als ka
> und kb bezeichnet wurde, ist e IN und nicht der IR oder?
Nach der Aufgabenstellung legen wir die Menge [mm] $\IN$ [/mm] zugrunde.
> weil eine natürliche zahl dividiert durch eine natürliche
> wieder eine natürliche gibt
Das stimmt so natürlich nicht, aber du meinst sicher das richtige:
Der Rest bei einer solchen Division ist wieder eine natürliche Zahl.
Gruß
Will
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