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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | Teilaufgabe 3:
Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Relationen in den jeweils angegebenen Mengen Äquivalenzrelationen sind (Z: Menge der ganzen Zahlen; N>0: Menge der positiven natürlichen Zahlen).
a) Rel := { (x, y) [mm] \in [/mm] N>0 x N>0 | x*y3 ist Quadratzahl }
b) Rel := { (x, y) [mm] \in [/mm] Z x Z | ( x*(y1) ist gerade ) [mm] \wedge [/mm] ( (x+1)*y ist gerade ) } |
Hallo allerseits!
Ich sitze gerade über dieser Aufgabe und weiss nicht so recht was ich damit anfangen soll. Was symmetrisch, transitiv und reflexiv ist weiss ich, klar. Aber wie löse ich so eine Aufgabe. Muss ich mir da Werte ausdenken und die dann einsetzen oder muss man da irgendwas mit den Bedingungen herumrechnen.
Danke schonmal!
Gruß
jan
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> Ich sitze gerade über dieser Aufgabe und weiss nicht so
> recht was ich damit anfangen soll. Was symmetrisch,
> transitiv und reflexiv ist weiss ich, klar. Aber wie löse
> ich so eine Aufgabe. Muss ich mir da Werte ausdenken und
> die dann einsetzen oder muss man da irgendwas mit den
> Bedingungen herumrechnen.
Hallo,
wenn Du beweisen möchtest, mußt Du "da irgendwas mit den Bedingungen herumrechnen", möchtest Du eine der Eigenschaften widerlegen, dann reicht es, wenn Du ein Zahlenbespiel als Gegenbeispiel bringst.
Die Relation in a) ist beispielsweise reflexiv:
es ist für alle [mm] x\in \IN \qquad x*x^3=x^4=(x^2)^2, [/mm] also eine Quadratzahl, dh. für alle [mm] x\in \IN [/mm] ist [mm] (x,x)\in [/mm] Rel, also ist Rel reflexiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Dnake |
Danke für die Antwort. Das mit dem reflexiv ist ja noch recht einfach, da hätte ich auch drauf kommen können.
Für symmetrisch muss ich dann schreiben:
x=y
x und y tauschen -> [mm] y*x^3 [/mm] -> [mm] x^4 [/mm] bzw [mm] y^4 [/mm] (wenn ich das gegenseitig einsetze)
also auch symmetrisch.
transitiv? ich versuchs mal...
[mm] x*y^3 [/mm] und [mm] y*z^3 [/mm] -> [mm] x*z^3 [/mm]
stimmt das soweit? und nun? sind x und z gleich?
eher nicht, oder ?
da klemmt es geistig bei mir noch :-(
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> Danke für die Antwort. Das mit dem reflexiv ist ja noch
> recht einfach, da hätte ich auch drauf kommen können.
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> Für symmetrisch muss ich dann schreiben:
> x=y
>
> x und y tauschen -> [mm]y*x^3[/mm] -> [mm]x^4[/mm] bzw [mm]y^4[/mm] (wenn ich das
> gegenseitig einsetze)
> also auch symmetrisch.
Hallo,
das mit Deiner Symmetrie ist noch etwas holperig-falsch.
Ich mache Dir mal den Anfang - sowas läuft streng nach Vorschrift/Definition:
Symmetrie
zu zeigen: [mm] (x,y)\in [/mm] Rel ==> [mm] (y,x)\in [/mm] Rel.
Beweis: sei (x,y) [mm] \in [/mm] Rel.
Dann ist ein [mm] x*y^3 [/mm] eine Quadratzahl, dh. es gibt ein [mm] a\in \IN [/mm] mit [mm] x*y^3=a^2 [/mm] .
So, und nun kommt Dein Einsatz: Du müßtest jetzt irgendwie zeigen, daß auch (y,x) [mm] \in [/mm] Rel, daß also [mm] y*x^3 [/mm] eine Quadratzahl ist.
Laß Dir was einfallen!
Gruß v. Angela
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> transitiv? ich versuchs mal...
>
> [mm]x*y^3[/mm] und [mm]y*z^3[/mm] -> [mm]x*z^3[/mm]
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> stimmt das soweit? und nun? sind x und z gleich?
>
> eher nicht, oder ?
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> da klemmt es geistig bei mir noch :-(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Dnake |
hmmm....je länger ich darüber nachdenke, desto mehr verwirrt mich das.
wenn ich z.B. für x=1 und für y=7 einsetze kommt doch auch bei der obigen Rechnung keine Quadratzahl raus? Also passt das mit dem [mm] a^2 [/mm] doch garnicht. Oder doch?
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> hmmm....je länger ich darüber nachdenke, desto mehr
> verwirrt mich das.
Hallo,
darauf habe ich eigentlich schon gewartet...
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> wenn ich z.B. für x=1 und für y=7 einsetze kommt doch auch
> bei der obigen Rechnung keine Quadratzahl raus? Also passt
> das mit dem [mm]a^2[/mm] doch garnicht. Oder doch?
Doch.
Es ist ja [mm] 1*7^3 [/mm] keine Quadratzahl. Und deshalb ist das Paar (1,7) überhaupt nicht in Rel, und weil es nicht dadrin ist, braucht es uns keine Schmerzen zu machen.
Die Paare, die wir betrachten, sind solche aus Rel, wo da mit der Quadratzahl stimmt, wo's solch ein a gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Dnake |
ich versuchs mal...
[mm] x*y^3 [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
das hatten wir schon.
es muss auch gelten:
[mm] y*x^3 [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
das oben nach a aufgelöst, ergibt:
a= [mm] \wurzel{x*y^3}
[/mm]
in zwei eingesetzt ergibt dann [mm] y*x^3 [/mm] = [mm] \wurzel{x*y^3} [/mm] * [mm] \wurzel{x*y^3}
[/mm]
-> [mm] y*x^3 [/mm] = [mm] x*y^3
[/mm]
oder ist das Unsinn?
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> ich versuchs mal...
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> [mm]x*y^3[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>
> das hatten wir schon.
>
> es muss auch gelten:
>
> [mm]y*x^3[/mm] = [mm]a^2[/mm]
Hallo,
nein, davon, daß die beiden Produkte gleich sein müssen, ist nirgends die Rede.
Lediglich müßte auch [mm] y*x^3 [/mm] irgendein Quadrat sein, dh. es muß ein [mm] b\in \IN [/mm] geben mit [mm] y*x^3=b^2.
[/mm]
Und ob die Existenz solch eines b aus [mm]x*y^3[/mm] = [mm]a^2[/mm] folgt, das ist festzustellen.
Nur zum besseren Verständnis:
Ein Paar, welches in Rel enthalten ist, ist das Paar (8 , 2), denn es ist [mm] 8*2^3=64=8^2.
[/mm]
Ist das Paar (2,8) auch in Rel? Schauen wir nach: [mm] 2*8^3= 1024=32^2. [/mm] Klappt hier also
> oder ist das Unsinn?
Ja, das ist Unfug, was Du getan hast, Du wirst es gleich einsehen. Du sollst ja eigentlich aus [mm] xy^3=a^2 [/mm] folgern, daß auch [mm] yx^3 [/mm] eine Quadratzahl ist.
Du hast gesagt: sei [mm] xy^3=a^2 [/mm] und sei [mm] yx^3=a^2. [/mm] Nach etwas Rechnerei hast Du festgestellt, daß [mm] xy^3=xy^3 [/mm] gilt- was nun ja aufgrund der Voraussetzung nicht so erstaunlich ist.
Der Auftrag:
folgere aus [mm] xy^3=a^2, [/mm] daß [mm] yx^3= (...)^2.
[/mm]
Tip: dividiere in [mm] xy^3=a^2 [/mm] erstmal durch [mm] y^2. [/mm] Da y>0, kannst Du das ungestraft tun.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Also dann werde ich mal deinen Tipp befolgen:
[mm] x*y^3=a^2 [/mm] , jetzt dividiere ich durch [mm] y^2
[/mm]
[mm] x*y=\bruch{a^2}{y^2}
[/mm]
und jetzt? ich versteh überhaupt nicht wie ich da jetzt weitermachen soll um zu
[mm] x^3*y=b^2 [/mm] gelangen?
Gruß
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Hallo Lorence,
> Also dann werde ich mal deinen Tipp befolgen:
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> [mm]x*y^3=a^2[/mm] , jetzt dividiere ich durch [mm]y^2[/mm]
Ja, das kannst du machen, da [mm] $y\neq [/mm] 0$ nach Def. der Relation, und es ist eine gute Idee 
> [mm]x*y=\bruch{a^2}{y^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und jetzt? ich versteh überhaupt nicht wie ich da jetzt
> weitermachen soll um zu
>
> [mm]x^3*y=b^2[/mm] gelangen?
Multipliziere die Gleichung [mm] $x\cdot{}y=\bruch{a^2}{y^2}$ [/mm] von oben noch mit [mm] $x^2$, [/mm] was steht dann rechterhand, kannst du da geschickt klammern, so dass du eine Quadratzahl erkennen kannst ...?
Und ist die ganzzahlig oder natürlich?
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 14.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, also haben wir dann
[mm] x^3*y=(\bruch{a*x}{y})^2
[/mm]
und der rechte Teil ist eine Quadratzahl vermutlich? ganzzahlig?
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> Okay, also haben wir dann
>
> [mm]x^3*y=(\bruch{a*x}{y})^2[/mm]
>
> und der rechte Teil ist eine Quadratzahl vermutlich?
> ganzzahlig?
Hallo,
weil [mm] (\bruch{a*x}{y})^2 [/mm] dasselbe ist wie [mm] x^3*y, [/mm] ist [mm] (\bruch{a*x}{y})^2 [/mm] eine natürliche Zahl.
Die Frage ist, ob die rationale Zahl [mm] \bruch{a*x}{y} [/mm] eine natürliche Zahl ist.
Das ist der Fall. ( Man kann zeigen (Primfaktoren betrachten), daß, wenn [mm] \bruch{p}{q} [/mm] keine ganze Zahl ist, auch [mm] (\bruch{p}{q})^2 [/mm] keine ganze Zahl ist.)
Gruß v. Angela
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