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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mi 02.11.2011 | | Autor: | gpvw100 |
| Aufgabe | 1.
Sei [mm] \sim_{1} \subseteq (\IZ \times \IZ [/mm] \ {0}) [mm] \times (\IZ \times \IZ [/mm] \ {0}) definiert durch
(a,b) [mm] \sim_{1} [/mm] (c,d) [mm] \gdw_{df} [/mm] a*d = c*b.
Zeigen Sie, dass [mm] \sim_{1} [/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
Bemerkung: Die Aquivalenzrelation [mm] \sim_{1} [/mm] spielt eine wichtige Rolle bei der Erweiterung des Zahlenbereiches der ganzen Zahlen auf den der rationalen Zahlen. Die Aquivalenzklassen von [mm] \sim_{1} [/mm] identifzieren
nämlich wertegleiche Brüche wie [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{6} [/mm] ...
2.
Sei [mm] \sim_{2} \subseteq (\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN) [/mm] definiert durch
(a,b) [mm] \sim_{2} [/mm] (c,d) [mm] \gdw_{df} [/mm] a+d = c+b.
Zeigen Sie, dass auch [mm] \sim_{2} [/mm] eine Aquivalenzrelation ist. Uberlegen Sie auch, wofur [mm] \sim{2} [/mm] sinnvoll eingesetzt werden konnte. |
Ich wollte fragen, ob mit vielleicht jemand einen Denkanstoss für die Aufgaben geben könnte. Ich komme nämlich nicht weiter, bzw. ich weiß auch nicht so richtig, wie ich sie angehen soll.
Schonmal vielen dank im voraus
MfG
gpvw100
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. bitte verschiedene Fragen in 2 threads.
Zu 1
schreibe die Bedingungen für eine Relation auf.
Prüfe sie durch einsetzen nach. Beispiel Reffl
folgt aus
(a,b) $ [mm] \sim_{1} [/mm] $ (c,d) also ad=cb
(c,d) $ [mm] \sim_{1} [/mm] $ (a,b) also cb=da
Prüfung:
aus a*d = c*b folgt cb=da weil a,b,c,d aus Z aus den bekannten Gesetzen für Z
so jetzt du die 2 nächsten
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 02.11.2011 | | Autor: | gpvw100 |
Für eine Äquivalenzrelation müssen diese drei Bedinungen erfüllt sein:
symmetrie, reflexivität und transitivtät.
Bei der transitivität bin ich mir nicht ganz sicher, aber folgt aus deinem Beweis für die Reflexivität nicht auch die symmetrie, da man ja durch die Rechengesetze auch [mm] \IZ [/mm] die Operationen vertauschen kann. Deshalb müsste doch aus:
(a,b) [mm] \sim_{1} [/mm] (c,d) [mm] \Rightarrow [/mm] a*c = b*d
(c,d) [mm] \sim_{1} [/mm] (a,b) [mm] \Rightarrow [/mm] b*d = a*c
die transitivität gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für eine Äquivalenzrelation müssen diese drei Bedinungen
> erfüllt sein:
> symmetrie, reflexivität und transitivtät.
>
> Bei der transitivität bin ich mir nicht ganz sicher, aber
> folgt aus deinem Beweis für die Reflexivität nicht auch
> die symmetrie, da man ja durch die Rechengesetze auch [mm]\IZ[/mm]
> die Operationen vertauschen kann.
leduart hat Dir den Beweis für die Symmetrie vorgemacht, nicht für die Reflexivität !
> Deshalb müsste doch
> aus:
> (a,b) [mm]\sim_{1}[/mm] (c,d) [mm]\Rightarrow[/mm] a*c = b*d
> (c,d) [mm]\sim_{1}[/mm] (a,b) [mm]\Rightarrow[/mm] b*d = a*c
> die transitivität gelten.
Wieso das denn ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 02.11.2011 | | Autor: | gpvw100 |
Sorry ich meinte nicht transitivität sondern symmetrie.
Ich war erst nur etwas verwirrt, weil leduart geschrieben hat reflexivität folgt aus: und dann den Beweis für die symmetrie aufgeschrieben hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 02.11.2011 | | Autor: | gpvw100 |
Die Reflexivität müsste doch eigentlich folgendermaßen zu zeigen sein.
(a,b) [mm] \sim_{1} [/mm] (a,b) das wäre nach der Definition dann a*b = a*b und
(c,d) [mm] \sim_{1} [/mm] (c,d) das wäre nach der Definition dann c*d = c*d.
Da diese Gleichungen erfüllt sind, ist die Relation Reflexiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber wozu das (c,d)??
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 02.11.2011 | | Autor: | gpvw100 |
Stimmt (c,d) ist überflüssig.
Bei der transitivität will ich ja die Relation zwischen drei Elementen zeigen.
Wenn ich also noch ein drittes Element (e,f) habe, für das gilt:
(a,b) [mm] \sim_{1} [/mm] (c,d) [mm] \land [/mm] (c,d) [mm] \sim_{1} [/mm] (e,f) [mm] \Rightarrow [/mm] a*d = c*b [mm] \land [/mm] c*f = e*d
muss ich noch zeigen, das (a,b) [mm] \sim_{1} [/mm] (e,f) gilt.
Durch die Rechengesetzte auf [mm] \IZ [/mm] gilt dann, a*f = e*b und hieraus folgt
(a,b) [mm] \sim_{1} [/mm] (e,f) was erfolderlich ist für die transitivität.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt (c,d) ist überflüssig.
> Bei der transitivität will ich ja die Relation zwischen
> drei Elementen zeigen.
> Wenn ich also noch ein drittes Element (e,f) habe, für
> das gilt:
> (a,b) [mm]\sim_{1}[/mm] (c,d) [mm]\land[/mm] (c,d) [mm]\sim_{1}[/mm] (e,f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] a*d = c*b [mm]\land[/mm] c*f = e*d
> muss ich noch zeigen, das (a,b) [mm]\sim_{1}[/mm] (e,f) gilt.
> Durch die Rechengesetzte auf [mm]\IZ[/mm] gilt dann, a*f = e*b
Das lass ich Dir so nicht durchgehen ! Zeige, dass wirklich a*f = e*b herauskommt.
FRED
> und
> hieraus folgt
> (a,b) [mm]\sim_{1}[/mm] (e,f) was erfolderlich ist für die
> transitivität.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry für die Verwechslung, aber Refl. kannst du sicher.
sieh dir die Def. der Relation noch mal an:
Dein (a,b) $ [mm] \sim_{1} [/mm] $ (c,d) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ a*c = b*d
ist falsch! guck meinen post an für Symmetrie!
und jetz führ vor wie du die 2 anderen Refl. Tr. zeigst!
Gruss leduart
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