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| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie, ob die nachstehende Relationen Äquivalenzrelationen auf M sind
a) M := [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] : [mm] (x_1 [/mm] , [mm] y_1) \sim (x_2 [/mm] , [mm] y_2) [/mm] : [mm] \gdw x_1 y_2 [/mm] = [mm] x_2 y_1 [/mm] ; |
| Aufgabe 2 | | b) M := [mm] (\IR [/mm] x [mm] \IR) [/mm] \ {0,0} : [mm] (x_1 [/mm] , [mm] y_1) \sim (x_2 [/mm] , [mm] y_2) :\gdw x_1 y_2 [/mm] ) [mm] x_2 y_1 [/mm] ; |
| Aufgabe 3 | | c) M := {f ; f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR} [/mm] : f [mm] \sim [/mm] g [mm] :\gdw [/mm] Es existiert c [mm] \in \IR [/mm] so dass f(x) - g(x) = c für alle x [mm] \in \IR [/mm] |
| Aufgabe 4 | | d) M := Z : m [mm] \sim [/mm] n [mm] :\gdw [/mm] m+n ist gerade |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie geht man bei solchen Beweisen vor? Mir fehlt leider jeglicher Ansatz :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Do 24.11.2011 | | Autor: | hackintosh |
Ich habe zu b) etwas vergessen:
"Veranschaulichen Sie in b) die Äquivalenzklassen, indem sie x,y als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene deuten.
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Moin,
> Untersuchen Sie, ob die nachstehende Relationen
> Äquivalenzrelationen auf M sind
> a) M := [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] : [mm](x_1[/mm] , [mm]y_1) \sim (x_2[/mm] , [mm]y_2)[/mm] : [mm]\gdw x_1 y_2[/mm]
> = [mm]x_2 y_1[/mm] ;
> Wie geht man bei solchen Beweisen vor? Mir fehlt leider
> jeglicher Ansatz :/
Mal bei der a) [mm]M:=\IR\times\IR[/mm] und [mm](x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\gdw x_1y_2=x_2y_1[/mm]
Dann musst du drei Eigenschaften nachweisen. Wie die heißen verrät dir dein Script, Lehrbuch oder sonstiges.
Eigenschaft _________ :
z.z. für alle [mm](x,y)\in M[/mm] gilt [mm](x,y)\sim (x,y)[/mm]. Also ist zu zeigen, dass [mm]xy=xy[/mm] für alle reellen Zahlen gilt.
Eigenschaft _________ :
z.z. für alle [mm](x_1,y_1),(x_2,y_2)\in M[/mm] mit [mm](x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)[/mm] gilt auch [mm](x_2,y_2)\sim(x_1,y_1)[/mm]
Eigenschaft _________ :
z.z. für alle [mm](x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\in M[/mm] mit [mm](x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)[/mm] und [mm](x_2,y_2)\sim(x_3,y_3)[/mm] folgt [mm](x_1,y_1)\sim(x_3,y_3)[/mm].
Zu zeigen ist also aus [mm]x_1y_2=x_2y_1[/mm] und [mm]x_2y_3=x_3y_2[/mm] folgt stets [mm]x_1y_3=x_3y_1[/mm] für relle Zahlen [mm]x_i,y_i[/mm]
Wenn du den Aufgabenteil durchgeklappert hast, fallen dir die anderen bestimmt einfacher.
Allgemeine Vorangehensweise:
Nimm dir immer aus der Menge M die Elemente und versuche die Eigenschaften der Äquivalenzrelation nachzuweisen, indem du aufschreibst, was du zu zeigen hast (allgemein) und wie das im konkreten Fall aussieht.
Oben hatte ich ja auch geschrieben:
allgemein: für alle [mm](x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\in M[/mm] mit [mm](x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)[/mm] und [mm](x_2,y_2)\sim(x_3,y_3)[/mm] folgt stets [mm](x_1,y_1)\sim(x_3,y_3)[/mm].
konkret: aus [mm]x_1y_2=x_2y_1[/mm] und [mm]x_2y_3=x_3y_2[/mm] folgt stets [mm]x_1y_3=x_3y_1[/mm] für relle Zahlen [mm]x_i,y_i[/mm]
[edit] Version ohne Rechtschreibfehler.
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Zum Beispiel dann bei Reflexivität, ein Induktionsbeweis auf das Kommutativgesetz?
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> Zum Beispiel dann bei Reflexivität, ein Induktionsbeweis
> auf das Kommutativgesetz?
Hier wäre es angemessen: "klar (wegen Kommutativgesetz)" hinzuschreiben.
Probier mal die Transitivität.
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