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| Aufgabe | Ist R eine Äquivalenzrelation auf der Menge X? (Begründe)
a) X= [mm] \IZ [/mm] ; x R y genau dann, wenn | y-x | [mm] \le [/mm] 3
b) X= [mm] \IQ [/mm] ; x R y genau dann, wenn y-x eine ganze Zahl ist
c) X= [mm] \IR [/mm] ; x R y genau dann, wenn [mm] \bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}
[/mm]
d) X= [mm] \IZ [/mm] ; x R y genau dann, wenn x(y - 2) = y(x - 2) |
Ich muss ja überprüfen, ob die Fälle a bis d alle sowohl reflexiv, symmetrisch, als auch transitiv sind. Wenn sie nur eine der Eigenschaften nicht erfüllen, sind sie keine Äquivalenzrelationen.
a) ist keine Ä.relation, weil ich ja für x und y solche zahlen wählen kann, wobei deren Differenz größer 3 ist
b) ist eine Ä.relation, da alle 3 Eigenschaften erfüllt
und c bzw. d bräuchte ich mal nen Ansatz, wie ich das prüfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
bei c) soll es vermutlich [mm] $\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}=\bruch{sin(\blue{y})cos(\blue{y}^2)}{\blue{y}^4 + 5}$ [/mm] heißen?
> Ich muss ja überprüfen, ob die Fälle a bis d alle
> sowohl reflexiv, symmetrisch, als auch transitiv sind. Wenn
> sie nur eine der Eigenschaften nicht erfüllen, sind sie
> keine Äquivalenzrelationen.
Genau.
> a) ist keine Ä.relation, weil ich ja für x und y solche
> zahlen wählen kann, wobei deren Differenz größer 3 ist
Ja und? Welche der drei Eigenschaften ist warum nicht erfüllt?
> b) ist eine Ä.relation, da alle 3 Eigenschaften erfüllt
Stimmt. Beweis?
> und c bzw. d bräuchte ich mal nen Ansatz, wie ich das
> prüfe...
Bei welchem der drei zu überprüfenden Punkte hakt es denn jeweils?
Vielleicht postest du ersteinmal die Begründungen zu a) und b). Wenn du mit a) und b) keine Probleme mehr hast, sollten c) und d) auch gehen.
Zu d): Die Bedingung x(y - 2) = y(x - 2) lässt sich mit wenigen Äquivalenzumformungen stark vereinfachen.
Viele Grüße
Tobias
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| Aufgabe | Wenn ich mir das so recht betrachte, dann ist a) doch eine Ä.relation?!
Bin mir nur unsicher bei Symmetrie...
Kannst du mir mal einen Ansatz gebn, wie ich das Beweise?
reflexiv: x [mm] \sim [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
symmetrisch: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X
transitiv: x [mm] \sim [/mm] y , y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z [mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] X
und nun? |
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 23.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich mir das so recht betrachte, dann ist a) doch eine
> Ä.relation?!
>
> Bin mir nur unsicher bei Symmetrie...
Hier zweifelst du an der falschen Stelle.
Offensichtlich folgt aus [mm]|x-y|\le3[/mm] auch [mm]|y-x|\le3[/mm], also gilt die Symmetrie.
Es gilt auch [mm]|x-x|\le3[/mm], damit ist die Refexivität erfüllt.
Für die Transitivität findet man aber ein Gegenbeispiel:
Aus [mm]|5-3|\leq3[/mm] und [mm]|3-1|\leq3[/mm] folgt NICHT [mm]|5-1|\leq3[/mm].
Gruß Abakus
> Kannst du mir mal einen Ansatz gebn, wie ich das Beweise?
> reflexiv: x [mm]\sim[/mm] x [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X
> symmetrisch: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\sim[/mm] x [mm]\forall[/mm] x,y
> [mm]\in[/mm] X
> transitiv: x [mm]\sim[/mm] y , y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] z
> [mm]\forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] X
>
> und nun?
> Danke schonmal
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| Aufgabe | Ok, also a ist keine! Hab ich verstanden.
b) ist eine Ä.relation: reicht als Begründung, wenn ich folgendes schreibe: ?
reflexiv, da: x-x = 0 = [mm] \IZ
[/mm]
symmetrisch, da: y-x = x-y = [mm] \IZ
[/mm]
transitiv, da: y-x und x-z = [mm] \IZ \Rightarrow [/mm] y-z [mm] =\IZ
[/mm]
Bei c und d brauch ich Hilfe bitte! |
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> b) ist eine Ä.relation: reicht als Begründung, wenn ich
> folgendes schreibe: ?
>
> reflexiv, da: x-x = 0 [mm] \red{=}[/mm] [mm]\IZ[/mm]
Abgesehen davon, dass anstelle des rot markierten Gleichheitszeichens [mm] $\in$ [/mm] stehen müsste: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> symmetrisch, da: y-x = x-y = [mm]\IZ[/mm]
y-x ist für [mm] $x,y\in\IQ$ [/mm] i.A. nicht das gleiche wie x-y.
Beispiel: [mm] $x=\bruch52$, $y=\bruch72$. [/mm] Dann gilt $y-x=1$, aber $x-y=-1$.
Aber es gilt $x-y=-(y-x)$. Also folgt aus [mm] $y-x\in\IZ$ [/mm] auch [mm] $x-y\in\IZ$.
[/mm]
> transitiv, da: y-x und x-z = [mm]\IZ \Rightarrow[/mm] y-z [mm]=\IZ[/mm]
Genau das ist zu zeigen. Warum muss y-z ganzzahlig sein, wenn y-x und x-z es sind? Tipp: Vereinfache mal (y-x)+(x-z).
> Bei c und d brauch ich Hilfe bitte!
Die gebe ich dir gerne. Nur tue mir vorher bitte zwei Gefallen.
1. Verrate mir die korrekte Aufgabenstellung von c).
2. Vereinfache die Gleichung $x(y - 2) = y(x - 2)$ aus d). Fange mal mit Ausmultiplizieren auf beiden Seiten an.
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| Aufgabe | Also die korrekte Aufgabenstellung von c lautet:
X = [mm] \IR [/mm] xRy genau dann, wenn [mm] \bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5} [/mm] = [mm] \bruch{sin(y)cos(y^2)}{y^4 + 5}
[/mm]
und d) ausmultipliziert ist:
x(y-2) = y(x-2) [mm] \Rightarrow [/mm] xy - 2x = xy - 2y
xy - 2x = xy - 2y | -(xy)
- 2x = - 2y | (/-2)
x = y
Ist das so vereinfacht, wie du es meintest?! |
Wie soll ich bei b die Transitivität zeigen? Ich kann das ja nur in sofern vereinfachen, dass aus
(y-x) + (x-z) [mm] \Rightarrow [/mm] (y-z) und das is ja die Transitivitätsbehauptung odeR?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wie soll ich bei b die Transitivität zeigen? Ich kann das
> ja nur in sofern vereinfachen, dass aus
> (y-x) + (x-z) [mm]\Rightarrow[/mm] (y-z) und das is ja die
> Transitivitätsbehauptung odeR?!
In der Tat gilt $(y-x)+(x-z)=(y-z)$ (*).
Für die Transitivität ist zu zeigen: Sind (y-x) und (x-z) ganze Zahlen, so auch (y-z).
Da die Summe zweier ganzer Zahlen stets wieder eine ganze Zahl ist, folgt dies direkt aus (*).
> Also die korrekte Aufgabenstellung von c lautet:
>
> X = [mm]\IR[/mm] xRy genau dann, wenn [mm]\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}[/mm]
> = [mm]\bruch{sin(y)cos(y^2)}{y^4 + 5}[/mm]
Lass dich nicht von den komplexen Termen in x bzw. y verwirren! Ob in den Termen Sinus, Kosinus oder sonst was für Ungetüme auftauchen ist im Prinzip egal für die Lösung dieses Teils.
Die Reflexivität dieser Relation bedeutet:
Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}=\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}$.
[/mm]
Trifft das zu?
Die Symmetrie dieser Relation bedeutet:
Für alle [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}=\bruch{sin(y)cos(y^2)}{y^4 + 5}$ [/mm] gilt auch [mm] $\bruch{sin(y)cos(y^2)}{y^4 + 5}=\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}$.
[/mm]
Trifft das zu?
Die Transitivität dieser Relation bedeutet:
Für alle [mm] $x,y,z\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}=\bruch{sin(y)cos(y^2)}{y^4 + 5}$ [/mm] und [mm] $\bruch{sin(y)cos(y^2)}{y^4 + 5}=\bruch{sin(z)cos(z^2)}{z^4 + 5}$ [/mm] gilt auch [mm] $\bruch{sin(x)cos(x^2)}{x^4 + 5}=\bruch{sin(z)cos(z^2)}{z^4 + 5}$.
[/mm]
Trifft das zu?
> und d) ausmultipliziert ist:
>
> x(y-2) = y(x-2) [mm]\Rightarrow[/mm] xy - 2x = xy - 2y
>
> xy - 2x = xy - 2y | -(xy)
> - 2x = - 2y | (/-2)
> x = y
>
> Ist das so vereinfacht, wie du es meintest?!
Genau! (Das Wichtige ist, dass du nur Äquivalenzumformungen gemacht hast und somit für alle [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] die Ausgangsgleichung wirklich gleichbedeutend ist mit $x=y$.)
Das sieht doch schon sehr viel handlicher aus, oder?
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| Aufgabe | Reflexivität für c trifft zu
Symmetrie für c trifft zu und auch die Transitivität
[mm] \Rightarrow [/mm] R ist eine Äquivalenzrelation
und x=y ist auch eine ?!
Reflexiv: x=x
Symmetrie: x=y [mm] \Rightarrow [/mm] y=x
Transitivität: x=y und y=z [mm] \Rightarrow [/mm] x=z |
Ist das korrekt so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Super! Danke. =) Ist ein kleiner Lichtblick, wenn man so anfängt, Mathe zu studieren und nicht sonderlich viel "versteht". ;)
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