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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | X,Y nicht-leere Mengen und f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung
(a) Definiere R = [mm] \{ (x_{1},x_{2}) \in {X\times X} : f(x_{1}) = f(x_{2}) \}
[/mm]
1. Bestimme alle Äquivalenzklassen, wenn f injektiv ist.
2. Bestimme alle Äquivalenzklassen, wenn f konstant ist.
(b) Betrachte folgende Relation auf Y: [mm] {y_{1}\sim y_{2}} [/mm] genau dann, wenn [mm] {f^{-1}(\{ y_{1}\})} [/mm] = [mm] {f^{-1}(\{ y_{2} \})}
[/mm]
Ist [mm] \sim [/mm] ebenfalls eine Äquivalenzrelation? |
zu 1. Wenn f injektiv ist, muss jedes Element von R eine eigene Äquivalenzklasse darstellen, da durch die Injektivität vorausgesetzt ist, dass jeder y-Wert maximal einem x-Wert zugeordnet ist. Nun bin ich mir nur nicht ganz sicher wie ich die einzelnen Klassen bestimmen sollte.
zu 2. Wenn f konstant ist stehen alle x [mm] \in [/mm] X in Relation zueinander, da f(x) konstant. Somit gibt es nur eine Äquivalenzklasse, die alle x enthält.
ist das soweit richtig?
zu (b): Diese Aufgabe verstehe ich nicht ganz. Was mich da verwirrt sind die geschweiften Klammern um [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] , was diese ja zu Repräsentanten von Äquivalenzklassen macht oder? Hat mir da wer einen kleinen Tipp?
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Hiho,
> zu 1. Wenn f injektiv ist, muss jedes Element von R eine eigene Äquivalenzklasse darstellen, da durch die Injektivität vorausgesetzt ist, dass jeder y-Wert maximal einem x-Wert zugeordnet ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun bin ich mir nur nicht ganz sicher wie ich die einzelnen Klassen bestimmen sollte.
Was willst du denn noch bestimmen? Du hast es doch mit dem Satz davor getan.
> zu 2. Wenn f konstant ist stehen alle x [mm]\in[/mm] X in Relation zueinander, da f(x) konstant. Somit gibt es nur eine Äquivalenzklasse, die alle x enthält.
> zu (b): Diese Aufgabe verstehe ich nicht ganz. Was mich da verwirrt sind die geschweiften Klammern um [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] , was diese ja zu Repräsentanten von Äquivalenzklassen macht oder?
Oder 
Das sind Mengenklammern. Das [mm] f^{-1} [/mm] meint nicht die Umkehrfunktion (die ja gar nicht existieren muss), sondern "Das Urbild von".
Und da man Urbilder nur von Mengen betrachten kann, muss in der Klammer folglich eine Menge stehen und kein Element.
{y} meint also die Menge, die nur das Element y enthält, folglich sind die geschweiften Klammern einfach Mengenklammern
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Okay ich dachte ich sollte das noch irgendwie mathematisch
> ausdrücken^^
Du könntest die Äquivalenzklassen hinschreiben, aber mehr kannste nicht mehr machen.
> Dann wäre die Relation auf jeden Fall reflexiv weil wenn ja a = a dann gilt ja auch a = a (komische Begründung? :D)
Nein, gar keine Begründung.
Ich kann da nicht rauslesen, ob $y [mm] \sim [/mm] y$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ gilt.
Gewöhn dir sauberes Aufschreiben an.
> Transitiv müsste sie auch sein.
Dann zeige das.
> Bei der Symmetrie tu ich mir etwas schwerer. Aber wenn ich es richtig verstehe müsste sie auch symmetrisch sein. Weil wenn ja (a = b) dann gilt ja auch (b = a).
> Geht das in die richtige Richtung?
Naja.... wieder sehr viel Wischi-Waschi. Aber dass du dafür die Symmetrie der Gleichheit brauchst, ist schon ganz richtig.
Aber auch hier: Sauber aufschreiben!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Ja, mit der sauberen Schreibweise tu ich mir immer schwer. Aber das bekomm ich dann auch noch hin. Ich weiss nur nicht wirklich wie ich die Äquivalenzklassen aufschreiben soll.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
Gruß
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