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Forum "Mengenlehre" - Äquivalenzrelationen/- klasse
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Äquivalenzrelationen/- klasse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 01.07.2007
Autor: LeMaSto

Aufgabe
Sei M := [mm] \IN \backslash \{1,2\}. [/mm] Für Teilmengen A,B [mm] \in [/mm] Pot [mm] (\IN) [/mm] werde eine Relation S definiert durch
ApB [mm] :\gdw [/mm] A [mm] \backslash [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \wedge [/mm] B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] M
a) Zeigen Sie: p ist eine Äquivalenzrelation in Pot [mm] (\IN) [/mm] .
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Äquivalenzklassen von p.

hey...
kann mir jemand bei der aufgabe helfen!? (bei a) würde wohl eine begründung reichen.) ich bin wie immer um jede hilfe sehr dankbar!
lg lemasto

        
Bezug
Äquivalenzrelationen/- klasse: a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 01.07.2007
Autor: dormant

Hi!

Du musst bei a) nur nachrechnen:

i) für alle A aus der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] gilt ApA, d.h. A \ A ist Teilmenge M;
ii) für alle A und B mit ApB gilt auch BpA, d.h. aus A \ B und B \ A in M, gilt auch B \ A und A \ B in M (offensichtlich);
iii) für alle A, B und C folgt aus ApB und BpC, dass ApC. Vorgegeben also ist A \ B, B \ A, B \ C, C \ B alle in M und zu zeigen ist, dass A \ C und C \ A in M.

Gruß,
dormant

Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelationen/- klasse: b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 So 01.07.2007
Autor: Somebody


> Sei M := [mm]\IN \backslash \{1,2\}.[/mm] Für Teilmengen A,B [mm]\in[/mm] Pot
> [mm](\IN)[/mm] werde eine Relation S definiert durch
>  ApB [mm]:\gdw[/mm] A [mm]\backslash[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] M [mm]\wedge[/mm] B [mm]\backslash[/mm] A
> [mm]\subseteq[/mm] M
>  a) Zeigen Sie: p ist eine Äquivalenzrelation in Pot [mm](\IN)[/mm]
> .
>  b) Bestimmen Sie die Anzahl der Äquivalenzklassen von p.

Man hätte diese Relation auch mit Hilfe der "symmetrischen Differenz" [mm]A\Delta B := (A\backslash B) \cup (B\backslash A)[/mm] so schreiben können:
[mm]A p B :\Leftrightarrow A\Delta B \subseteq M[/mm]

bzw.
[mm]A p B :\Leftrightarrow (A\Delta B)\cap \{1;2\} = \emptyset[/mm]

Die Anzahl der Äquivalenzklassen ergibt sich daher aus der Anzahl verschiedener Möglichkeiten dafür, dass [mm]A\Delta B[/mm] zu [mm]\{1;2\}[/mm] disjunkt ist:
1. Fall: [mm]1\notin A,B[/mm] und [mm]2\notin A,B[/mm].
2. Fall: [mm]1\notin A,B[/mm] und [mm]2\in A,B[/mm].
3. Fall: [mm]1\in A,B[/mm] und [mm]2\notin A,B[/mm].
4. Fall: [mm]1\in A,B[/mm] und [mm]2\in A,B[/mm].


Bezug
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