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| Aufgabe | 1.) (ax+b)/(cy+d) = -d/c auf einen Nenner bringen
2.) [mm] x+xy^2=y+yx^2 [/mm] nach x auflösen wegen injektivität |
Hallo zusammen,
ich wusste leider nicht in welches Unterforum ich dies reinposten sollte, da es eigentlich Bestandteil einer Injektivitäts/Surjektivitätsaufgabe ist, ich nur grade was bei dieser Äquivalenzumformung am rumstottern bin... bzw. da eine Diskrepanz gefunden hab zu dem was mir der Prof. als Lösung anbietet.
Und zwar:
Zu 1.):
(ax+b)/(cy+d) = -d/c |*c :(-d)
--> das kann man doch einfach mit c multiplizieren und anschließend mit -d dividieren oder nicht? D.h. dass folgendes dann da steht
--> c(ax+b) / -d(cy+d) ?
Nach meinem Prof. ist das allerdings falsch, was mich eben verwirrt, er meint folgenden Weg zu gehen:
(ax+b)/(cy+d) = -d/c | +(-d/c)
--> (ax+b)/(cy+d) + d/c
--> c(ax+b)+d(cy+d)/c(cy+d)
was ja dann ungleich meiner Äquivalenzumformung wäre, ich aber nicht verstehe warum (ax+b)/(cy+d) = -d/c |*c :(-d) nicht zulässig ist?
(-->c(ax+b) / -d(cy+d))
Zu 2.)
Hier ist mein Weg folgender:
[mm] xy^2-yx^2=y-x
[/mm]
xy(y-x)=y-x | :(y-x)
xy=1
x=1/y
Nach meinem Prof. ist wiederrum folgender Weg richtig:
x-y+xy(y-x)=0
(x-y)(1-xy)=0
--> entweder x-y=0 oder 1-xy=0
--> x=y oder x=1/y
was ja schon anders als bei mir ist, hatte ja nur x=1/y
hier würde die injektivität aber ja schon erfüllt sein für z.b. 2=2, uninteressant ob 2=1/2 nicht erfüllt ist, wegen x=y oder x=1/y
wobei mein prof wieder meint dass die injektivität NICHT erfüllt ist, er guckt sich iwie nur x=1/y und da das nicht für inj. gilt, ist hier keine inj. vorhanden,was ich auch wieder nicht verstehe da es doch auch x=y sein kann?
Gruß und danke schonmal für eure Mühe,
Frank
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Hallo Frank,
das ist ja kaum lesbar. Bitte benutze doch den Formeleditor.
Bei beiden Aufgaben ist Dein Weg nicht vollständig, weil Du durch Ausdrücke teilst, von denen Du nicht sicherstellst, dass sie [mm] \not=0 [/mm] sind. Diesen Fall - in dem Deine Umformung dann eben nicht mehr erlaubt wäre - müsstest Du dann eben gesondert untersuchen, in der zweiten Aufgabe also den Fall x-y=0, in der ersten den Fall d=0.
Der Weg, den Dein Prof. geht, vermeidet dieses Problem.
lg
reverend
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$ [mm] xy^2-yx^2=y-x [/mm] $
xy(y-x)=y-x | :(y-x)
xy=1
x=1/y
d.h. ich kann dafür dann die fälle (x-y)=0 und |(x-y)|>0 unterscheiden?
dann käme aber entweder eben x=1/y raus oder 0=0 wenn ich dieses problem berücksichtige
ist 0=0 überhaupt ne lösung^^?
das ist ja quasi das wofür mein prof dann x=y raus hatte
Zu 1.) ah stimmt, hatte ganz vergessen dass ich ja niemals teilen darf ohne zu wissen ob esnull ist oder nicht, aber wenn es nicht null wäre, wäre meine äquivalenzumformung richtig oder?
sorry wegen dem editor, werd ihn benutzen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franky!
Der Fall $x-y \ = \ 0$ entspricht doch exakt dem Fall $x \ = \ y$ .
Und Dein Ergebnis $0 \ = \ 0$ bestätigt diese Lösung, da augenscheinlich eine wahre Aussage auftritt.
Gruß
Loddar
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Ja, das x-y=0 --> x=y hatte ich ja oben geschrieben, ist die Lösung vom Prof.
Du meinst also dass 0=0 auch als Lösung gilt, sprich in der Klausur kann ich meinen Weg so anwenden und 0=0 als Ergebnis für den Fall hinschreiben?
Aber warum ist das Ding dann trotzdem nicht injektiv, da ja 0=0 gilt bzw x=y.
Mein Prof. hat ja geschrieben dass es nicht injektiv ist aufgrund [mm] x=\bruch{1}{y} [/mm] also z.b. [mm] 2=\bruch{1}{2} [/mm] dabei heißt es doch "oder"
also x=y (was ja gilt) oder [mm] x=\bruch{1}{y}
[/mm]
oder heißt "oder" hier nicht "oder" sondern "und" ^^?
und noch kurz ein problem auf das ich gerade gestoßen bin:
[mm] y=\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}
[/mm]
nach x auflösen
Nach Prof. steht dann da [mm] x=\wurzel{\bruch{y}{1-y}}
[/mm]
verstehe aber nicht ganz wie man durch äquivalenzumformungen darauf kommt...
da [mm] 1+x^{2} [/mm] nicht null werden kann --> [mm] |*1+x^{2}
[/mm]
=y + [mm] yx^{2} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
:/
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Hallo Frank,
> Ja, das x-y=0 --> x=y hatte ich ja oben geschrieben, ist
> die Lösung vom Prof.
Schon. Es sollte aber auch Deine sein!
> Du meinst also dass 0=0 auch als Lösung gilt,
Quatsch. Was wird denn durch 0=0 gelöst?
> sprich in
> der Klausur kann ich meinen Weg so anwenden und 0=0 als
> Ergebnis für den Fall hinschreiben?
Nein. Der Fall heißt x=y, und wenn man das einsetzt, erhält man die wahre Aussage 0=0. Also ist x=y auch eine Lösung.
> Aber warum ist das Ding dann trotzdem nicht injektiv, da ja
> 0=0 gilt bzw x=y.
> Mein Prof. hat ja geschrieben dass es nicht injektiv ist
> aufgrund [mm]x=\bruch{1}{y}[/mm] also z.b. [mm]2=\bruch{1}{2}[/mm] dabei
> heißt es doch "oder"
> also x=y (was ja gilt) oder [mm]x=\bruch{1}{y}[/mm]
> oder heißt "oder" hier nicht "oder" sondern "und" ^^?
Sei y=2. Dann erfüllen [mm] x=\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2} [/mm] und x=y=2 die Bedingung. Was sagt Dir das über Injektivität?
> und noch kurz ein problem auf das ich gerade gestoßen
> bin:
Neue Fragen machen sich am besten immer in einem neuen Thread. Sonst gibts hier so 'ne Gemüsemischung...
> [mm]y=\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}[/mm]
>
> nach x auflösen
>
> Nach Prof. steht dann da [mm]x=\wurzel{\bruch{y}{1-y}}[/mm]
>
> verstehe aber nicht ganz wie man durch
> äquivalenzumformungen darauf kommt...
> da [mm]1+x^{2}[/mm] nicht null werden kann --> [mm]|*1+x^{2}[/mm]
> =y + [mm]yx^{2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm]
>
> :/
Ja, und weiter? | [mm] -yx^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=x^2-yx^2=(1-y)x^2\quad [/mm] |/(1-y) (Achtung: [mm] y\not=1 [/mm] )
[mm] \Rightarrow \bruch{y}{1-y}=x^2\quad |\wurzel{} [/mm] (Achtung: [mm] \bruch{y}{1-y}\ge0 [/mm] )
[mm] \blue{\pm}\wurzel{\bruch{y}{1-y}}=x
[/mm]
Das ist nur lösbar für y>1 (was auch noch zu ermitteln wäre). Das blaue +/- ist noch zu bedenken (und jedenfalls aufzuführen), und es bleibt noch der Fall y=1 zu untersuchen:
[mm] 1=\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}\quad \Rightarrow \quad 1+x^2=x^2 [/mm] ist aber nicht lösbar. Also kein Problem.
Klar?
lg
reverend
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Ja, ist wesentlich klarer geworden, danke dir, nur noch ein paar Fragen:
> > der Klausur kann ich meinen Weg so anwenden und 0=0 als
> > Ergebnis für den Fall hinschreiben?
> Nein. Der Fall heißt x=y, und wenn man das einsetzt,
> erhält man die wahre Aussage 0=0. Also ist x=y auch eine
> Lösung.
Aber das ist ja mein Problem, ich bin durch meinen Weg mit der Fallunterscheidung nur zu 0=0 gekommen, nicht zu x=y, obwohl der Weg also korrekt kommt nicht die Lösung heraus (also nichts dass ich in der Klausur so hinschreiben kann, da es nichts aussagt außer dass eben der andere Weg korrekt wäre, d.h. ich muss noch zwischen korrekten Wegen unterscheiden... aiaiai...:( )
> > oder heißt "oder" hier nicht "oder" sondern "und" ^^?
>
> Sei y=2. Dann erfüllen [mm]x=\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}[/mm] und
> x=y=2 die Bedingung. Was sagt Dir das über Injektivität?
was ja dann bedeutet dass "oder" -> "und" heißt, sprich x=2 muss dasselbe sein wie [mm] x=\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}
[/mm]
> Neue Fragen machen sich am besten immer in einem neuen
> Thread. Sonst gibts hier so 'ne Gemüsemischung...
sorry, dachte es wäre "spamsparend"
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Hallo Frank,
späte Antwort: ich bin heute oft unterwegs gewesen.
> Aber das ist ja mein Problem, ich bin durch meinen Weg mit
> der Fallunterscheidung nur zu 0=0 gekommen, nicht zu x=y,
> obwohl der Weg also korrekt kommt nicht die Lösung heraus
> (also nichts dass ich in der Klausur so hinschreiben kann,
> da es nichts aussagt außer dass eben der andere Weg
> korrekt wäre, d.h. ich muss noch zwischen korrekten Wegen
> unterscheiden... aiaiai...:( )
Doch, die Lösung lag auf Deinem Weg. Du hast ja durch (y-x) geteilt. Das darfst Du nur, wenn [mm] (y-x)\not=0 [/mm] ist. Den Fall y-x=0 bzw. x=y musst du gesondert untersuchen. Dabei ist vorab keineswegs sicher, dass das zu einer Lösung führt, aber wenn man dann einsetzt, bekommt man eben 0=0, eine wahre Aussage. Also ist x=y auch eine Lösung.
> > > oder heißt "oder" hier nicht "oder" sondern "und" ^^?
"Oder" heißt in der mathematischen Logik immer "entweder oder" oder "beides". [mm] (a\vee{b}) [/mm] ist wahr, wenn nur a wahr ist, oder nur b, oder a und b wahr sind.
> > Sei y=2. Dann erfüllen [mm]x=\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}[/mm] und
> > x=y=2 die Bedingung. Was sagt Dir das über Injektivität?
>
> was ja dann bedeutet dass "oder" -> "und" heißt, sprich
> x=2 muss dasselbe sein wie [mm]x=\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}[/mm]
Versteh ich nicht.
Klar ist nur, dass zu jedem x (außer 0) zwei verschiedene y gehören (bei x=1 und x=-1 sind sie nicht verschieden, aber sonst). Das gilt umgekehrt übrigens auch für y. Egal also, ob man x auf y abbildet oder umgekehrt, ist die Abbildung nicht injektiv.
> > Neue Fragen machen sich am besten immer in einem neuen
> > Thread. Sonst gibts hier so 'ne Gemüsemischung...
>
> sorry, dachte es wäre "spamsparend"
Das ist es auch manchmal, nämlich genau dann, wenn die Frage mit einer einzigen Antwort erledigt werden kann und keine Rückfrage nötig ist. Sobald aber eine neue Diskussion entsteht, wird das Ganze schnell unübersichtlich, trotz der (wie ich finde) ziemlich genialen Baumstruktur innerhalb eines Diskussionsthreads.
lg
rev
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> Versteh ich nicht.
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> Klar ist nur, dass zu jedem x (außer 0) zwei verschiedene
> y gehören (bei x=1 und x=-1 sind sie nicht verschieden,
> aber sonst). Das gilt umgekehrt übrigens auch für y. Egal
> also, ob man x auf y abbildet oder umgekehrt, ist die
> Abbildung nicht injektiv.
Habe mich was doof ausgedrückt, meinte einfach nur dass ja beides gelten muss, sprich wenn x=y da steht bedeutet das nicht dass die Funktion injektiv ist, sondern ich muss noch das andere also [mm] x=\bruch{1}{y} [/mm] betrachten, was ja nicht gilt, daher ist die Funktion nicht injektiv, richtig? Daher das "und" von mir... wenn ich das jetzt so richtig verstanden habe^^
Danke auch für die Mühe ;)
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Hi,
ich bin wahrlich nicht der Meister der präzisen mathematischen Formulierung, aber im Moment kann ich Dir nicht folgen. Sorry.
> Habe mich was doof ausgedrückt, meinte einfach nur dass ja
> beides gelten muss, sprich wenn x=y da steht bedeutet das
> nicht dass die Funktion injektiv ist,
wenn nur x=y gelten würde, wäre die Funktion injektiv. Und surjektiv. Und damit bijektiv.
> sondern ich muss noch
> das andere also [mm]x=\bruch{1}{y}[/mm] betrachten, was ja nicht
> gilt,
Wieso gilt das nicht? Das gilt ja auch!
> daher ist die Funktion nicht injektiv, richtig?
...und weil beides gilt, x=y und [mm] x=\bruch{1}{y}, [/mm] kann die Funktion nicht injektiv sein.
> Daher
> das "und" von mir... wenn ich das jetzt so richtig
> verstanden habe^^
Äh, weiß ich gerade nicht, weil ich nicht weiß, ob ich Dich richtig verstanden habe.
Damit es aber nicht an mir liegt, warte ich jetzt einfach mal ab, bis jemand anders weitere Fragen beantwortet, ok?
> Danke auch für die Mühe ;)
Na, gern doch.
lg
rev
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