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| Aufgabe | Ist die Relation R eine Äquivalenzrelation auf der Menge X? Begründen Sie Ihre Antworten.
a) X= [mm] \IZ; [/mm] xRy genau dann, wenn Iy-xI= [mm] \le [/mm] 3 |
So, das ist die 1. von 3 Aufgaben. Da wir das ganze Thema in den letzten 5 min der Vorlesung abgehandelt haben bin ich absolut unsicher und wollte euch bitten mir bei der Lösung dieser Aufgabe zu helfen, damit ich eine kleine Anleitung für die Nächsten habe:
Okay, um festzustellen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, muss ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität beweisen.
Dann zeigt sich bei mir auch schon
Problem Nr.1: was sagt das X= [mm] \IZ [/mm] aus?
Dann weiß ich das ich bei der Refelxivität zeigen muss das xRx gilt: Ix-xI=I0I=0= [mm] \le [/mm] 3
Demnach würde es reflexiv sein.
Dann verlässts mich auch schon. Ich weiß wie ich es theoretisch zeigen müsste, weiß es aber nicht auf die Formle umzusetzten.
Könnt ihr mir das weiterzeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also das [mm] R=\IZ [/mm] bedeutet nur das deine Zahlen die du für x,y verwendest aus [mm] \IZ [/mm] sind.
Die Reflexivität hast du ja schon ganz richtig gezeigt.
Symetrisch:
xRy= yRx
zeige / überprüfe
Ix-yI=Iy-xI
Transitivität:
xRy und yRz -> xRz
Iy-xI [mm] \le [/mm] 3 und Iz-yI [mm] \le [/mm] 3 soll folgen Iz-xI [mm] \le [/mm] 3
Hoffe das hilft dir weiter!
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danke schonmal, so ähnlich habe ich mir das schon gedacht.
beweise ich das mit den Variablen (bzw. Gegenbeispiel)?
ich wüsste nicht wie ich das schreiben soll. mir ist klar, dass dieser Fall auch symmetrisch ist (ist ja logisch) aber ich hab keine ahnung wie ich das Umstellen soll ohne "sofort" von Ix-yI auf Iy-xI zu kommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Sa 28.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
innerhalb der Betragsstriche darfst du natürlich alle Rechenoperationen aus [mm] $\IZ$ [/mm] verwenden, die dir bekannt sind (vorrausgesetzt werden können).
also : $|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|$
(bei der ersten Gleichheit nutzt du nur eigenschaften aus [mm] $\IZ$ [/mm] und bei der zweiten die Eigenschaft des Betrages)
viele Grüße
DaMenge
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und das wars?
reicht das schon zum Beweis der Symmetrie?
dann würde ich das für die Transitivität die beiden Beträge zu Iy-x+z-yI=Iz-yI zusammenfügen und so zu folgern dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt folgern.
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| Aufgabe | b) X = [mm] \IQ; [/mm] x R y genau dann, wenn y − x eine ganze Zahl ist
c) X = [mm] \IR; [/mm] x R y genau dann, wenn [mm] sinxcos(x^{2})/(x^{4}+5) [/mm] = [mm] sinycos(y^{2})/(y^{4}+5)
[/mm]
d) X = [mm] \IN; [/mm] x R y genau dann, wenn weder x = 2 noch y = 2 gilt
e) X = [mm] \IZ; [/mm] x R y genau dann, wenn x(y − 1) = y(x − 1) gilt |
Das sind die anderen Fragen. es wäre nett wenn ihr mir sagen könntet ob meine lösung richtig ist
b) ist Äquivalenzrelation
c) ist Äquivalenzrelation
d) ist Äquivalenzrelation
e) ist Äquivalenzrelation
laut meinen Überlegungen würde es sich nur um Äquivalenzrelationen handeln. Kann das richtig sein? (es irritiert mich doch schon etwas)
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kann mal jemand nachschauen und mich gegebenenfalls verbessern?
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Ist gemacht.
Gruss,
Mathias
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Hallo und guten Morgen,
> b) X = [mm]\IQ;[/mm] x R y genau dann, wenn y − x eine ganze
> Zahl ist
> c) X = [mm]\IR;[/mm] x R y genau dann, wenn
> [mm]sinxcos(x^{2})/(x^{4}+5)[/mm] = [mm]sinycos(y^{2})/(y^{4}+5)[/mm]
> d) X = [mm]\IN;[/mm] x R y genau dann, wenn weder x = 2 noch y = 2
> gilt
> e) X = [mm]\IZ;[/mm] x R y genau dann, wenn x(y − 1) = y(x
> − 1) gilt
> Das sind die anderen Fragen. es wäre nett wenn ihr mir
> sagen könntet ob meine lösung richtig ist
>
> b) ist Äquivalenzrelation
Ja.
> c) ist Äquivalenzrelation
Ja, sogar allgemein [mm] \{(x,y)|f(x)=f(y)\} [/mm] falls f eine auf ganz X definierte Funktion ist
> d) ist Äquivalenzrelation
Keine Äquivalenzrelation auf [mm] X=\IZ, [/mm] da es nicht reflexiv ist (das Paar (2,2) ist nicht drin)
> e) ist Äquivalenzrelation
>
Ja , aber Du solltest wohl auch dar Argument liefern, oder (geht ähnlich wie (c), aber nicht ganz genau so))
> laut meinen Überlegungen würde es sich nur um
> Äquivalenzrelationen handeln. Kann das richtig sein? (es
> irritiert mich doch schon etwas)
Gruss,
Mathias
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| Aufgabe | Es ist überflüssig, dass man extra verlangt, dass Äquivalenzrelationen reflexiv sein müssen. Man sieht nämlich leicht, dass jede symmetrische, transitive Relation
auch reflexiv ist: denn aus x R y folgt y R x wegen Symmetrie; und da x R y und y R x gelten, folgt x R x wegen Transitivität. |
danke.
zu d) habe ich aber noch 1, 2 Fragen:
muss refelxivität für alle x gelten? ich dachte wenn x=2 und y=2 ausgeschlossen ist folgt die reflexivität (im übrigen für X= [mm] \IN, [/mm] nicht = [mm] \IZ)
[/mm]
bzw. anders gesagt wenn es eine einschränlung wie diese gibt kann ich Reflexivität sofort ausschließen?
und nun noch eine andere Frage die nur bedingt damit zu tun hat (vorausgesetzt dass hier nur die Reflexivität nicht zutrifft und du nicht nach dem fall "aufgehört" hast):
wir hatten noch eine andere Aufgabenstellung (kritische Diskussion der Aussage) die ich dann für diesen Fall als nicht zutreffend erachten würde (s.o.)
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Hallo,
leider ist die Aussage über die Überflüssigkeit der Reflexivitát nicht richtig.
Es gilt zwar: Falls X eine Menge ist und [mm] R\subseteq X\times [/mm] X symmetrisch und transitiv, so
gilt für alle [mm] x\in dom(R):=\{z\in X|\exists y\in X\:\: (z,y)\in R\}
[/mm]
auch [mm] (x,x)\in [/mm] R,
aber wenn [mm] dom(R)\subsetneq [/mm] X ist, so ist (unter Vorauss. der Symm.,Trans.)R mitnichten eine Äquivalenzrelation über X, sondern nur eine über dom(X).
Gruss,
Mathias
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okay, letzte frage: was bedeutet dom(R)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 02.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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