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Hallo Ihr,
also ich habe bewiesen, dass
wenn a [mm] \equiv a^{'} [/mm] mod n
und b [mm] \equiv b^{'} [/mm] mod n gilt, dass
a + b [mm] \equiv a^{'} [/mm] + [mm] b^{'} [/mm] mod n gilt und
dass
[mm] ab\equiv a^{'}b^{'} [/mm] mod n gilt...
nun soll ich zeigen, dass für zwei Äquivalenzklassen [a] und [b] gilt:
[a] + [b] = [a+b] und [a]*[b] = [ab] gilt...
wie mache ich das? Also die Relation solle Kongruenz modulo n sein und ich soll die oben schon bewiesenen sachen wieder benutzen...wie funktioniert das, denn Äquvalenzklassen sind ja art Mengen und ich weiß nit wie ich das beweisen soll....kann mal jemand zeigen, wie das gehen soll?
Voraussetzung ist ja (bei uns laut Skript):
[a1] = [a2] und [b1] = [b2]
wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Cu euer Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Do 18.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andi!
Du hast da etwas missverstanden.
Du sollst nicht zeigen:
$[a] + [b] = [a+b]$
und
$[a] [mm] \cdot [/mm] [b] = [a [mm] \cdot [/mm] b]$,
weil man das gar nicht zeigen kann (es ist nämlich eine Definition). Du sollst nur zeigen, dass die seine sinnvolle Definition ist, sprich:
Du sollst zeigen, dass die Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, so nennt man das. Was bedeutet das? Wie du ja siehst, sind beide Operationen repräsentantenweise definiert. Denn wie addiere ich $[a]$ und $[b]$? Ich nehme mir $a$ aus $[a]$ und $b$ aus $[b]$, addiere beide in [mm] $\IZ$ [/mm] , erhalte $a+b$ und bilde wieder die Äquivalenzklasse: $[a+b]$.
Was wäre aber passiert, wenn ich nicht $a [mm] \in [/mm] [a]$ gewählt hätte und nicht $b [mm] \in [/mm] [b]$, sondern vielleicht $a' [mm] \in [/mm] [a]$ und $b' [mm] \in [/mm] [b]$?
Dann wäre ja $[a]=[a']$ (weil $a$ und $a'$ kongruent zueinander sind und daher die gleiche Äquivalenzklasse bilden) und ebenso $[b]=[b']$.
Aber wäre dann auch
$[a] + [b] = [a'] + [b']$?
Wäre dann also auch
$[a+b] = [a' + b']$?
Das sollst du überprüfen!
Beispiel: Wir rechnen modulo $3$.
Dann ist $1 [mm] \equiv [/mm] 4$ und $2 [mm] \equiv [/mm] 5$, also $[1]=[4]$ und $[2]=[5]$.
Frage:
Ist dann auch
$[1] + [2] = [4] + [5]$.
Wäre blöd wenn nicht, oder? Dann würde man zweimal das gleiche addieren und es käme was Unterschiedliches raus. Das würde nicht für die Definition der Addition von Kongruenzklassen sprechen!!
Die Frage ist also:
Gilt:
$[1+2] = [4+5]$?
(Denn so sind $[1] + [2]$ und $[4]+[5]$ ja definiert.)
Testen wir das mal:
Es gilt:
$[1+2] = [3]$
und
$[4 + 5] = [9]$.
Und es ist
$[3] = [0] = [9]$,
da $3$ und $9$ kongruent modulo $3$ sind (beide sind kongruent $0$ modulo $3$).
Du sollst das jetzt allgemein prüfen:
Also:
Folgt aus $[a]=[a']$ und $[b]=[b']$ auch
$[a+b] = [a'+b']$?
Prüfen wir das!
Aus $[a] = [a']$ und $[b] = [b']$ folgt:
$a [mm] \equiv [/mm] a' [mm] \pmod{n}$
[/mm]
und
$b [mm] \equiv [/mm] b' [mm] \pmod{n}$.
[/mm]
Jetzt hast du aber bereits gezeigt (wie du sagst), dass daraus
$a+b [mm] \equiv [/mm] a' + b' [mm] \pmod{n}$
[/mm]
folgt.
Letzteres bedeutet aber gerade
$[a+b] = [a'+b']$,
was zu zeigen war. Damit hast du gezeigt, dass die Addition wohldefiniert ist, also nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt.
Gleiches sollte dir jetzt auch für die Multiplikation gelingen... 
Liebe Grüße
Stefan
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