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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - äußere Ableitung?!
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äußere Ableitung?!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Sa 17.01.2015
Autor: questionpeter

Aufgabe
Seien [mm] \omega(x,y)=ydx [/mm] und [mm] \eta(x,y)=ydy [/mm] in [mm] \Omega^1(\IR^2). [/mm] Berechne [mm] \omega\wedge\eta, d\omega [/mm] und [mm] d\eta. [/mm]

hallo,

ich sitze wieder vor einem "kleinen" Problem und hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

erstmal zu [mm] d\omega: [/mm] da  habe ich die äußere ableitung verwendet, d.h.
(1) [mm] d\omega=d(ydx)=dx\wedge [/mm] dy=dxdy

und  (2) [mm] d\eta=d(ydy)=dy\wedge [/mm] dy=0
dabei  habe ich folg betr. zu (1) [mm] d(\omega)=(\bruch{\partial\omega}{\partial x}dx+\bruch{\partial\omega}{\partial y}dy)\wedge [/mm] dx analog zu (2) [mm] d(\eta)=(\bruch{\partial\eta}{\partial x}dx+\bruch{\partial\eta}{\partial y}dy)\wedge [/mm] dy

jetzt zu [mm] \omega\wedge \eta: [/mm]
da habe ich die äußere Ableitung verwendet d.h.

in der VL habe wir folg. Formel:
sind [mm] \omega \in \Omega^k, \eta \in\Omega^l, [/mm] so gilt
[mm] d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta+(-1)^k\omega\wedge d\eta. [/mm] ich habe dieses verwendet und dann eingesetzt. also

da [mm] \omege, \eta \in \Omega^1 [/mm] habe dann

[mm] d(\omega \wedge \eta)= dxdy\wedgeydy+(-1)^1ydx\wedge [/mm] 0
=dxdy [mm] \wedge [/mm] ydy-ydx

ist es richtig? bin für jeden tipp dankbar.

gruß

        
Bezug
äußere Ableitung?!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 So 18.01.2015
Autor: andyv

Hallo,


>  hallo,
>  
> ich sitze wieder vor einem "kleinen" Problem und hoffe ihr
> könnt mir da weiterhelfen.
>  
> erstmal zu [mm]d\omega:[/mm] da  habe ich die äußere ableitung
> verwendet, d.h.
>  (1) [mm]d\omega=d(ydx)=dx\wedge[/mm] dy=dxdy
>  
> und  (2) [mm]d\eta=d(ydy)=dy\wedge[/mm] dy=0
>  dabei  habe ich folg betr. zu (1)
> [mm]d(\omega)=(\bruch{\partial\omega}{\partial x}dx+\bruch{\partial\omega}{\partial y}dy)\wedge[/mm]
> dx analog zu (2) [mm]d(\eta)=(\bruch{\partial\eta}{\partial x}dx+\bruch{\partial\eta}{\partial y}dy)\wedge[/mm]
> dy

Was du meinst ist wohl Folgendes: Ist [mm] $\omega=f(x,y)dx$, $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, [/mm] so gilt   [mm]d\omega=(\bruch{\partial f}{\partial x}dx+\bruch{\partial f}{\partial y}dy)\wedge dx[/mm]

Demnach ist $d [mm] \omega=dy \wedge [/mm] dx=-dx [mm] \wedge [/mm] dy$

> jetzt zu [mm]\omega\wedge \eta:[/mm]
>  da habe ich die äußere
> Ableitung verwendet d.h.

Also sollst du $ [mm] d(\omega\wedge\eta) [/mm] $ berechnen?

>  
> in der VL habe wir folg. Formel:
>  sind [mm]\omega \in \Omega^k, \eta \in\Omega^l,[/mm] so gilt
> [mm]d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta+(-1)^k\omega\wedge d\eta.[/mm]
> ich habe dieses verwendet und dann eingesetzt. also
>  
> da [mm]\omege, \eta \in \Omega^1[/mm] habe dann
>  
> [mm]d(\omega \wedge \eta)= dxdy\wedgeydy+(-1)^1ydx\wedge[/mm] 0
>  =dxdy [mm]\wedge[/mm] ydy-ydx
>  
> ist es richtig? bin für jeden tipp dankbar.
>  
> gruß

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
äußere Ableitung?!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 So 18.01.2015
Autor: questionpeter

hallo,
eigentlich musste ich nach aufg [mm] \omega \wedge \eta [/mm] berechnen, aber ich gedacht das macht man mit der äußere ableitung.

wenn es falsch ist, kannst du mir da ein tipp geben?

ist der andere teil ansonsten richtig?

Bezug
                        
Bezug
äußere Ableitung?!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 18.01.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter,

> hallo,
> eigentlich musste ich nach aufg [mm]\omega \wedge \eta[/mm]
> berechnen, aber ich gedacht das macht man mit der äußere
> ableitung.
>  
> wenn es falsch ist, kannst du mir da ein tipp geben?
>  


[mm]d\eta[/mm] ist richtig. [ok]

[mm]d\omega[/mm] hat mein Vorredner schon korrigiert.


> ist der andere teil ansonsten richtig?



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
äußere Ableitung?!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 So 18.01.2015
Autor: questionpeter

ich habe mal im internet zu diesem thema geschaut und kam dann zu den äußeren produkt.

da gab es folg. formel
sei [mm] \omega \in \Omega^k [/mm] und [mm] \eta \in \Omega^l, [/mm] dann gilt
[mm] \omega\wedge \eta [/mm] = [mm] (-1)^{kl}\eta \wedge \omega [/mm]

[mm] \Rightarrow \omega \wedge \eta =-\eta \wedge \omega [/mm] (bringt mir eigentlich auch nich weiter)

aber dann habe ich es folg ausprobiert

[mm] \omega \wedge \eta=(ydx)(ydy)=y^2dxdy [/mm]

ist das richtig meine überlegung?

Bezug
                        
Bezug
äußere Ableitung?!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 18.01.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter,

> ich habe mal im internet zu diesem thema geschaut und kam
> dann zu den äußeren produkt.
>  
> da gab es folg. formel
> sei [mm]\omega \in \Omega^k[/mm] und [mm]\eta \in \Omega^l,[/mm] dann gilt
>  [mm]\omega\wedge \eta[/mm] = [mm](-1)^{kl}\eta \wedge \omega[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \omega \wedge \eta =-\eta \wedge \omega[/mm] (bringt
> mir eigentlich auch nich weiter)
>  
> aber dann habe ich es folg ausprobiert
>  
> [mm]\omega \wedge \eta=(ydx)(ydy)=y^2dxdy[/mm]
>  


Hier muss doch stehen:

[mm]\omega \wedge \eta=(ydx)\blue{\wedge}(ydy)=y^2 \ dx\blue{\wedge}dy[/mm]

Dann stimmt Deine Überlegung.


> ist das richtig meine überlegung?


Gruss
MathePower

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