äußeres Integral/innere Ableit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Di 28.02.2006 | | Autor: | Mirjam99 |
Hallo,
weiß jemand, wann ich die Integrationsregel "äußeres Integral/innere Ableitung" anwenden darf?
Liebe Grüße,
Miriam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 28.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Mirjam,
ich bin immer interessiert an "neuen" Integrationsregeln. 
Kannst du uns vielleicht erklären, was genau es mit dieser Regel auf sich hat und/oder mal eine Aufgabe zeigen, bei der man sie anwenden kann?
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Mirjam99 |
Hallo Yuma,
z.B. bei Stammfunktion von [mm] \wurzel[2]{x+1} [/mm] = [mm] (x+1)^\bruch{1}{2}
[/mm]
da kann ich doch das "äußere" Integral bilden [mm] \bruch{2}{3}*(x+1)^ \bruch{3}{2} [/mm] und einfach durch die "innere" Ableitung (die ja in diesem Fall 1 ist) teilen.
Damit erspare ich mir die Substitution (ok, wäre jetzt hier auch nicht so aufwändig, aber bei anderen Funktionen kann das ne ziemliche Zeitersparnis sein.)
Ich weiß leider nur nicht, WANN ich diese regel anwenden darf...immer geht das nämlich nicht.(Hab mal gehört, daß die Innenfunktion dazu linear sein muss...)
Wäre nett, wenn jemand was dazu schreiben könnte.
Liebe Grüße,
Mirjam
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Hallo Miriam!
Du hast Dir die Antwort weiter unten bereits selber gegeben, denn das stimmt, was Du da gehört hast ...
Damit Du mit dieser "vereinfachter Substitutionsregel" erbeiten darfst, muss die innere Funktion linear sein, d.h. diese hat die Gestalt [mm] $a*x^{\blue{1}}+b$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Mirjam99 |
Hallo Roadrunner,
aber was ist mit der Funktion [mm] e^{x^2} [/mm] ?
Die integriere ich doch auch [mm] \bruch{1}{2x}*e^{x^2} [/mm] , oder?
Obwohl die Innenfunktion nicht linear ist...
LG,
Miriam
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Hallo Miriam!
> aber was ist mit der Funktion [mm]e^{x^2}[/mm] ?
> Die integriere ich doch auch [mm]\bruch{1}{2x}*e^{x^2}[/mm] , oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, mache mal die Probe und leite Deine vermeintliche Stammfunktion ab; da müsste ja wieder die Ausgangsfunktion entstehen.
Die Funktion $y \ = \ [mm] e^{x^2}$ [/mm] ist nicht elementar zu integrieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Mirjam,
Roadrunner hat die Antwort schon gegeben - ich möchte es noch etwas formaler ausdrücken:
Nehmen wir an, du hast zwei Funktionen [mm] $f,g:\IR\to\IR$, [/mm] wobei $f(x)$ die Stammfunktion $F(x)$ hat, und [mm] $g'(x)\not=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Sei $h(x):=f(g(x))$ (nur zur Abkürzung).
Dann behauptest du: [mm] $H(x):=\int [/mm] f(g(x))\ [mm] dx=\bruch{1}{g'(x)}\cdot [/mm] F(g(x))$.
Überprüfen wir die Behauptung, indem wir die rechte Seite ableiten:
Wir haben an $g(x)$ (noch) keine Bedingungen gestellt, also wäre das nach der Produktregel
[mm] $H'(x)=-g''(x)\cdot\bruch{1}{(g'(x))^{2}}\cdot F(g(x))+\bruch{1}{g'(x)}\cdot g'(x)\cdot [/mm] f(g(x))$
Du merkst, deine Behauptung $H'(x)=h(x)$ gilt (für beliebiges $f$) genau dann, wenn $g''(x)=0$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
$g'(x)$ muss dazu eine konstante Funktion ungleich Null sein: [mm] $g'(x)=c\not=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Und das heißt wiederum, dass $g(x)$ die Gestalt $g(x)=cx+d$ haben muss, also eine lineare Funktion sein muss.
Alles klar? Frag ansonsten bitte nochmal nach! 
MFG,
Yuma
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