äußeres Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Do 30.10.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | a) Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] Maßraum mit [mm] \mu(X)<\infty.Fuer [/mm] S [mm] \subset [/mm] X sei
[mm] \mu^{\*}(S)=inf\{\mu(A):S \subset A \in \mathcal{A}\}
[/mm]
zeige, dass [mm] \mu^{\*} [/mm] ein äußeres Maß ist. Sei [mm] \mathcal{A^{\*}} [/mm] die [mm] \sigma [/mm] -Algebra der [mm] \mu^{\*}-messbaren [/mm] Mengen.
Zeige, dass [mm] \mathcal{A^{*}} [/mm] genau dann die [mm] \mu [/mm] -Vervollständigung von [mm] \mu [/mm] ist.
b) Sei X eine Menge, [mm] \mathcal{A}=\{\emptyset,X\} [/mm] die triviale [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf X und sei [mm] \mu [/mm] das Maß auf [mm] \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(X)=\infty.
[/mm]
Zeige, dass in diesem Fall [mm] \mathcal{A}^{\*}=\mathcal{P}(X) [/mm] ist. |
hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir bei diese aufgaben helfen. ich weiß nicht so richtig wie ich beginnen soll bzw ich tue mit solchen aufgaben sehr schwer und daher hoffe ihr könnt mir dabei paar tipps geben.
zu a) damit [mm] \mu^{\*} [/mm] müssen folgende bedingung erfüllt werden
1) [mm] \mu(\emptyset)=0
[/mm]
2) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B) [/mm] Monotonie
3) [mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) \le \summe_{i=1}^{\infty}A_i \sigma-subadditiv
[/mm]
bin für jede hilfe dankbar.
gruß,
knowhow
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Hiho,
i) und ii) sind trivial, da solltest du einfach mal hinschreiben, was du zeigen willst, dann steht es doch fast schon da!
Bei der iii) habt ihr sicherlich schon einmal für ein äußeres Maß gezeigt, dass es ein solches ist. Gib doch mal ein Beispiel aus der Vorlesung an.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 02.11.2014 | | Autor: | knowhow |
danke für deine hilfe. ich musste dabei vieles in anderesn skript durchlesen da in unseren vieles nicht bewiesen zu dem auch das äußere maß dazugehört.ich habe
erstmal z.z. [mm] \mu^{\*} [/mm] äußeres Maß.
Da [mm] \mu(\emptysset)=0 [/mm] folgt daraus [mm] \mu^{\*}(\emptyset)=0
[/mm]
Sei A [mm] \subset [/mm] B, sit [mm] \mu^{\*}=\infty [/mm] dann ist schon fertig ( warum ist das so??) Setzte voraus [mm] \mu^{\*}(B)<\infty.
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Dann gilt nach Infimum
[mm] A_1,A_2,... [/mm] mit B [mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n, [/mm] s.d. [mm] \summe_{n}^{\infty}\mu(A_n)<\mu^{\*}(B)+\epsilon
[/mm]
Da A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] folgt [mm] \mu^{\*}(A) \le \summe\mu(A_n) [/mm] < [mm] \mu^{\*}(B)+\epsilon
[/mm]
mit [mm] \epsilon \rightarrow [/mm] folgt Monotonie.
Es bleibt nur noch subadditivität zu zeigen.
Sei [mm] (C_n)_{n=1}^{\infty} [/mm] eine Folge von Teilmenge von X
[mm] zz.\mu^{\*}(\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n) \le \summe_{n=1}^{\infty}\mu^{\*}(C_n)
[/mm]
setze voraus [mm] \mu^{\*}(C_n)<\infty \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Nach Def. von [mm] \mu^{\*} [/mm] ex. Mengen [mm] A_n_k \in \mathcal{A}, [/mm] k=1,2,.. mit
[mm] C_n \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}A_n_k [/mm] und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_n_k) \le \mu^{\*}(C_n) [/mm] + [mm] \bruch{\epsilon}{2^n} [/mm] (wieso addiert man [mm] \bruch{\epsilon}{2^n}?). [/mm] Da [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}C_n \subset\bigcup_{n,k=1}^{\infty}A_n_k [/mm] folgt nach Def. von [mm] \mu^{\*}
[/mm]
[mm] \mu^{\*}(\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n) \le \summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_n_k) \le \summe_{n=1}^{\infty}(\mu^{\*}(C_n)+\bruch{\epsilon}{2^n})=\summe_{n=1}^{\infty}\mu^{\*}(C_n)+ \epsilon\underbrace{\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}}_{=1}
[/mm]
mit [mm] \epsilon \rightarrow [/mm] folgt Beh.
ist es soweit richtig? dieses Thema bereitet mir wirklich schwierigkeiten.
wir haben folgenden Satz zu vervollständigung
Sei [mm] (X;\mathcal{A},\mu) [/mm] Maßraum. Sei [mm] \mathcal{A}^{\*} [/mm] System aller Teilmengen der Form [mm] A\cup [/mm] L wobei L Teilmenge einer [mm] \mu-Nullmenge [/mm] ist.Dann ist [mm] \mathcal{A}^{\*} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] und [mm] \mu^{\*}(A\cup L)=\mu(A) [/mm] ein Maß [mm] \mu^{\*} [/mm] auf [mm] \mathcal{A}^{\*}, [/mm] das [mm] \mu [/mm] fortsetzt. Man nennt [mm] (X,\mathcal{A}^{\*},\mu^{\*}) [/mm] die Vervollständigung von [mm] (X;\mathcal{A},\mu)
[/mm]
aber was kann ich anhand dieses Satzes die Vervollständigkeit zeigen. Ich weiß leider wirklich nicht weiter und ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hiho,
> Da [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] folgt daraus [mm]\mu^{\*}(\emptyset)=0[/mm]
Ja, Aber ein paar mehr Begründungen wären schon nett. Warum kann es bspw nicht kleiner Null sein?
> Sei A [mm]\subset[/mm] B, sit [mm]\mu^{\*}=\infty[/mm] dann ist schon fertig ( warum ist das so??)
Ist das eine Frage von dir?
Den Schritt brauchst du zwar nicht, falsch ist er aber auch nicht.
> Setzte voraus [mm]\mu^{\*}(B)<\infty.[/mm]
> Sei [mm]\epsilon>0.[/mm] Dann gilt nach Infimum
> [mm]A_1,A_2,...[/mm] mit B [mm][mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n
[/mm]
Nein, und hier habe ich den Verdacht, dass du, wie auch später, nur einen Beweis abschreibst, wo das äussere Maß über die Summe von Maßen von offenen Mengen definiert ist, die deine Menge überdecken. Das ist hier Aber gar nicht so. Sondern hier reicht eine Überdeckung durch [u]eine[u] Menge aus. Demzufolge brauchst du gar keine Vereinigungen, Summen oder Epsilon-Geschubse.
Die Idee bleibt Aber fast komplett die Selbe. Versuchs mal nochmal.
Gruß,
Gono
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