äußeres Maß < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 28.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Mal wieder eine Definition, aber ich glaube, ich habe sie verstanden...
Für E [mm] \subset \Omega [/mm] setze m*(E):= inf{ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} m_0(A_i):(A_i)_i [/mm] Folge in A, mit [mm] E\subset (\cup A_i)}.
[/mm]
Heißt das jetzt, ich habe mehrere Folgen [mm] A_i, [/mm] für jede summiere ich die Maße der einzelnen Folgenglieder, und davon nehme ich dann das Infimum? Oder liege ich da falsch? (Ich frag' mich sonst nur, wie man das Infimum einer Summe nimmt...)
MfG
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Hallo Christiane!
Du liegst richtig: man nimmt sich die Menge aller abzählbaren Familien (auch Folgen genannt) von Mengen, die in dem Ring liegen, also meßbar sind bzgl. des gegebenen Inhaltes [mm] $m_0$, [/mm] die die gegebene Menge überdecken.
Dann betrachtet man die Summe ihrer Inhalte - das kann natürlich auch [mm] $\infty$ [/mm] ergeben, es ist ja eigentlich eine Reihe.
Nichtsdestoweniger erhält man also eine Menge von Werten in [mm] $\bar{\IR} [/mm] $. Diese ist nach unten beschränkt (durch 0), also hat sie ein Infimum - evtl. ebenfalls [mm] $\infty$. [/mm] Und dieses nennt man das "äußere Maß".
Die Anschauung dahinter ist, dass man eine beliebige Menge versucht, von "außen" durch Mengen zu approximieren, die man messen kann - mit Überdeckungen. Es wäre natürlich auch möglich, Mengensysteme zu nehmen, deren Vereinigung in der zu messenden Menge enthalten ist und darüber das Supremum zu bilden, quasi ein inneres Maß.
Man erklärt dann solche Mengen als meßbar, bei denen äußeres und inneres Maß übereinstimmen - das ist in den meisten Fällen noch anders formalisiert, aber das siehst Du dann im Beweis von Caratheodory. 
Also, ist die Frage klar geworden? Du nimmst die Menge der Folgen, summierst für jede Folge die Inhalte auf und von diesen Werten wird das Infimum gebildet.
Viel Spaß noch!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Do 28.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Lars!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Das mit der Anschauung hat der Prof auch in der Vorlesung gesagt, aber irgendwie hatte ich vergessen, dass das in diesem Zusammenhang war. Und so kann man sich das doch richtig gut vorstellen, und bestimmt viel besser merken als so eine "trockene" Definition.
Also nochmal: DANKE!
Viele Grüße
Christiane
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