äußeres Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Wir definieren auf der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] eine Funktion [mm] \mu [/mm] : [mm] \matcal{P}(\IN) \to [/mm] [0,1] durch
[mm] \mu [/mm] := [mm] \begin{cases} \bruch{|A|}{1+|A|}, & \mbox{falls } |A| \mbox{ endlich} \\ 1, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] |
wobei |A| für A [mm] \subseteq \IN [/mm] die Anzahl der Elemente von A darstelle.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \mu [/mm] ein äußeres Maß ist!
b) Welche Mengen in [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] sind [mm] \mu-messbar? [/mm] Welche Struktur hat die Menge dieser Mengen ? |
Hallo zusammen hab kleinere Probleme an dieser Aufgabe
zu a) Hab hier Probleme bei der [mm] \sigma-Subadditivität
[/mm]
Muss ja zeigen dass [mm] \mu(\bigcup_{n\ge1}^{}A_{n}) \le \summe_{n\ge1}^{}\mu(A_{n})
[/mm]
Für den Fall dass mindestens ein [mm] A_{n} [/mm] unendliche Kardinalität hat ist es ja klar, doch für den anderen Fall, dass alle [mm] A_{n} [/mm] endliche Kardinalität haben fehlt mir ein Argument auch durch Umformungen bin ich nicht weiter gekommen brauch hier einen kleinen Denkanstoss.
zu b) Muss hier wohl anwenden, dass wenn [mm] \mu [/mm] ein äußeres Maß auf [mm] \IN [/mm] ist, so nennt man eine Menge A [mm] \in \matcal{P}(\IN) \mu-messbar, [/mm] falls für alle B [mm] \in \matcal{P}(\IN) [/mm] gilt :
[mm] \mu(B) [/mm] = [mm] \mu(B \cap [/mm] A) + [mm] \mu(B \cap A^{c})
[/mm]
Jedoch fällt es mir hier schwer da einzelne Mengen rauszufiltern für die das gilt hab ich bis jetzt nur für [mm] \IN [/mm] und die leere Menge geschafft ;)
Hoffe ihr könnt mir weiterhalfen
MfG Eddie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 25.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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