affin-linear < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich bin gerade auf das Wort "affin-linear" gestoßen und würde gerne wissen, was das genau bedeutet. Bei Wikipedia finde ich folgendes:
"Eine Funktion der Form f(x) = ax + b heißt affin-linear"
aber ist das nicht genau die Definition für eine "lineare Funktion"? Wo liegt dann der Unterschied zwischen linear und affin-linear?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
In der Schule werden die Begriffe "linear" und "affin-linear" fälschlicherweise synomym verwendet.
Sind $V$ und $W$ ein $K$-Vektorräume, dann nennt man eine Funktion $f:V [mm] \to [/mm] W$ ($K$-)linear, wenn gilt:
$f(v+v') = f(v) + f(v')$ für alle $v,v' [mm] \in [/mm] V$,
[mm] $f(\lambda \cdot [/mm] v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(v)$ für $v [mm] \in [/mm] V$, [mm] $\lambda \in [/mm] K$.
Man kann jetzt leicht
$f(0)=0$
folgern (versuche das doch mal).
Bei affin-linearen Funktionen, die nicht linear sind, gilt
$f(0) [mm] \ne [/mm] 0$.
Dann ist aber die Abbildung
$v [mm] \mapsto [/mm] f(v) - f(0)$
linear. Es gilt also:
$f(v) = f(0) + g(v)$
mit einer linearen Abbildung $g$.
Fasst man [mm] $\IR$ [/mm] als Vektorraum über sich selbst auf, so sind die affin-linearen Abbildungen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] also genau die Funktionen, die in der Schule als "linear" bezeichnet werden.
Liebe Grüße
Stefan
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Komisch, dass ich so etwas noch nie irgendwo gelesen habe, wo es doch sicher nicht ganz unwichtig ist...
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
